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para as seguintes equações a diferença:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de diferença do tipo
com as condições iniciais
e
. Isso faz parte do conteúdo de equações de recorrência ou equações diferenciais de diferença, que a gente usa pra modelar sequências e sistemas dinâmicos. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação e depois aplicar as condições dadas pra achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de diferença para facilitar a visualização:
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, usamos a equação característica.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
na equação de diferença. Vamos fazer isso:
Podemos dividir todos os termos por
(desde que
), ficando:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação característica
. Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Aqui,
,
, e
. Calculando:
As raízes são complexas:
.
Passo 5
Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação de diferença é:
No nosso caso, isso fica:
Mas podemos simplificar usando a fórmula de Euler, que nos permite expressar em termos de funções trigonométricas.
Passo 6
Aplicando a fórmula de Euler, sabemos que
pode ser escrito como
. Então, a solução geral fica:
Onde
e
são constantes que determinamos com as condições iniciais.
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Simplificando:
Isso implica que
, o que ocorre quando o argumento é
ou
.
Passo 8
Para
:
Simplificando:
Agora, combinando com a condição anterior, podemos resolver para
e
.
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações:
A primeira equação nos dá que
, onde
é inteiro. Resolvendo para
:
Escolhendo
:
Agora, substituindo na segunda equação:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução para a equação de diferença dada é:
Simplificando:
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Assumindo que
, calcule
e interprete sua resposta.
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