Encontre para as seguintes equações a diferença:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de diferença do tipo com as condições iniciais e . Isso faz parte do conteúdo de equações de recorrência ou equações diferenciais de diferença, que a gente usa pra modelar sequências e sistemas dinâmicos. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação e depois aplicar as condições dadas pra achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de diferença para facilitar a visualização:
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, usamos a equação característica.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo na equação de diferença. Vamos fazer isso:
Podemos dividir todos os termos por (desde que ), ficando:
Essa é a nossa equação característica.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica . Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Aqui, , , e . Calculando:
As raízes são complexas: .

Passo 5

Quando temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação de diferença é:
No nosso caso, isso fica:
Mas podemos simplificar usando a fórmula de Euler, que nos permite expressar em termos de funções trigonométricas.

Passo 6

Aplicando a fórmula de Euler, sabemos que pode ser escrito como . Então, a solução geral fica:
Onde e são constantes que determinamos com as condições iniciais.

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Simplificando:
Isso implica que , o que ocorre quando o argumento é ou .

Passo 8

Para :
Simplificando:
Agora, combinando com a condição anterior, podemos resolver para e .

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações:
A primeira equação nos dá que , onde é inteiro. Resolvendo para :
Escolhendo :
Agora, substituindo na segunda equação:
Sabemos que , então:

Resposta

A solução para a equação de diferença dada é:
Simplificando:

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Assumindo que , calcule e interprete sua resposta.
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