Encontre y(k) para as seguintes equações a diferença: y(k)+y(k-1)+y(k-2)=0 , y(-1)=0, y(-2)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de diferença do tipo com as condições iniciais e . Isso faz parte do conteúdo de equações de recorrência ou equações diferenciais de diferença, que a gente usa pra modelar sequências e sistemas dinâmicos. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação e depois aplicar as condições dadas pra achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de diferença para facilitar a visualização:
y(k) + y(k-1) + y(k-2) = 0
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, usamos a equação característica.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo r^k + r^k-1 + r^k-2 = 0 na equação de diferença. Vamos fazer isso:
r^2 + r + 1 = 0
Podemos dividir todos os termos por (desde que ), ficando:
Essa é a nossa equação característica.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica r = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
r = -1 pm raiz1 - 42 = -1 pm raiz-32 = -1 pm iraiz32
Aqui, , , e . Calculando:
As raízes são complexas: .

Passo 5

Quando temos raízes complexas da forma y(k) = ( C1 cdot r1^k + C2 cdot r2^k ) , a solução geral da equação de diferença é:
y(k) = C1 ( -1 + iraiz32 )^k + C2 ( -1 - iraiz32 )^k
No nosso caso, isso fica:
Mas podemos simplificar usando a fórmula de Euler, que nos permite expressar em termos de funções trigonométricas.

Passo 6

Aplicando a fórmula de Euler, sabemos que y(k) = 2 cdot C cdot ( -12 )^k cdot cos( 2pi k3 + phi ) pode ser escrito como . Então, a solução geral fica:
Onde e são constantes que determinamos com as condições iniciais.

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar y(-1) = 0 = 2 cdot C cdot ( -12 )^-1 cdot cos( -2pi3 + phi ) e 0 = 2 cdot C cdot (-2) cdot cos( -2pi3 + phi ) .
Primeiro, para 0 = -4C cdot cos( -2pi3 + phi ) :
Simplificando:
Isso implica que , o que ocorre quando o argumento é ou .

Passo 8

Para y(-2) = -1 = 2 cdot C cdot ( -12 )^-2 cdot cos( -4pi3 + phi ) :
-1 = 2 cdot C cdot 4 cdot cos( -4pi3 + phi )
Simplificando:
-1 = 8C cdot cos( -4pi3 + phi )
Agora, combinando com a condição anterior, podemos resolver para e .

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações:
  1. phi = pi2 + 2pi3 + npi = 7pi6 + npi
  2. phi = 7pi6
A primeira equação nos dá que -1 = 8C cdot cos( -4pi3 + 7pi6 ) , onde -1 = 8C cdot cos( -4pi3 + 7pi6 ) é inteiro. Resolvendo para -1 = 8C cdot cos( -pi6 ) :
-1 = 8C cdot raiz32
Escolhendo -1 = 4Craiz3 :
C = -14raiz3
Agora, substituindo na segunda equação:
Sabemos que , então:

Resposta

A solução para a equação de diferença dada é:
y(k) = 2 cdot ( -14raiz3 ) cdot ( -12 )^k cdot cos( 2pi k3 + 7pi6 )
Simplificando:
y(k) = -12raiz3 cdot ( -12 )^k cdot cos( 2pi k3 + 7pi6 )

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