Encontre
para as seguintes equações a diferença:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar
para a equação de diferença
. Esse tipo de problema está relacionado à Equações de Diferença Linear Homogêneas de Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a equação característica da equação de diferença. Para uma equação do tipo
, a equação característica é dada por:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
, então:
Passo 4
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral da equação de diferença é dada por:
Substituindo
e
:
Passo 5
Podemos reescrever essa solução usando a forma trigonométrica das potências complexas, aplicando a fórmula de Euler:
Portanto, a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação de diferença é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Assumindo que
, calcule
e interprete sua resposta.
São dados os seguintes números, num computador decimal com uma mantissa normalizada de 4 dígitos:
Realizar as seguintes operações e calcular o erro absoluto no resultado, considerando o arredondamento:
Encontre
para as seguintes equações a diferença:
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