Encontre y(k) para as seguintes equações a diferença: y(k)+2 y(k-1)+2 y(k-2)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar para a equação de diferença . Esse tipo de problema está relacionado à Equações de Diferença Linear Homogêneas de Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a equação característica da equação de diferença. Para uma equação do tipo r^2 + a r + b = 0 , a equação característica é dada por:
r^2 + 2r + 2 = 0
No nosso caso, e , então:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes r = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot 22 cdot 1
Aqui, r = -2 pm raiz4 - 82 , r = -2 pm raiz-42 , e r = -2 pm 2j2 , então:
r = -1 pm j

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas y(k) = (A) (alpha + jbeta)^k + (B) (alpha - jbeta)^k , a solução geral da equação de diferença é dada por:
y(k) = A (-1 + j)^k + B (-1 - j)^k
Substituindo e :

Passo 5

Podemos reescrever essa solução usando a forma trigonométrica das potências complexas, aplicando a fórmula de Euler:
(-1 pm j)^k = (raiz2 e^j(3pi/4))^k = (raiz2)^k e^j(3pi k/4)
Portanto, a solução geral fica:
y(k) = (raiz2)^k [A cos(3pi k/4) + B sin(3pi k/4)]

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:
y(k) = (raiz2)^k [ A cos(3pi k4) + B sin(3pi k4) ]
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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