Encontre para as seguintes equações a diferença:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar para a equação de diferença . Esse tipo de problema está relacionado à Equações de Diferença Linear Homogêneas de Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a equação característica da equação de diferença. Para uma equação do tipo , a equação característica é dada por:
No nosso caso, e , então:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e , então:

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas , a solução geral da equação de diferença é dada por:
Substituindo e :

Passo 5

Podemos reescrever essa solução usando a forma trigonométrica das potências complexas, aplicando a fórmula de Euler:
Portanto, a solução geral fica:

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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Encontre para as seguintes equações a diferença:
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