Determine a raiz da função tabelada usando interpolação inversa sobre 3 pontos.
x 0,5 0,7 1,0 1,2 1,5 1,6
f(x) -2,63 -2,57 -2,0 -1,23 0,63 0,79

Passo 1

Então, a gente tem uma tabela que relaciona valores de com . A tarefa é encontrar a raiz da função, ou seja, o valor de que faz . Para isso, vamos usar a interpolação inversa com 3 pontos. Isso vai nos ajudar a estimar onde a função cruza o eixo com base nos pontos que já temos na tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função muda de sinal na tabela, porque isso indica que a raiz está entre esses dois pontos. Observando a tabela:
c|cccccc x & 0,5 & 0,7 & 1,0 & 1,2 & 1,5 & 1,6 hline f(x) & -2,63 & -2,57 & -2,0 & -1,23 & 0,63 & 0,79
Vemos que passa de negativo ( em ) para positivo ( em ). Então, a raiz está entre e .

Passo 3

Agora, para usar a interpolação inversa com 3 pontos, precisamos escolher três pontos próximos da raiz. Vamos selecionar , e . Esses pontos nos darão uma boa aproximação para calcular a raiz usando uma fórmula de interpolação.

Passo 4

A interpolação inversa envolve rearranjar a função para expressar x = (f(x) - y2)(f(x) - y3)(y1 - y2)(y1 - y3)x1 + (f(x) - y1)(f(x) - y3)(y2 - y1)(y2 - y3)x2 + (f(x) - y1)(f(x) - y2)(y3 - y1)(y3 - y2)x3 em termos de x = (0 - y2)(0 - y3)(y1 - y2)(y1 - y3)x1 + (0 - y1)(0 - y3)(y2 - y1)(y2 - y3)x2 + (0 - y1)(0 - y2)(y3 - y1)(y3 - y2)x3 . Para três pontos, podemos usar a fórmula da interpolação polinomial de Lagrange. A fórmula geral para três pontos , e é:
Como queremos encontrar quando , substituímos na fórmula:

Passo 5

Vamos agora substituir os valores dos pontos escolhidos:
x1 &= 1,0 & y1 &= -2,0 x2 &= 1,2 & y2 &= -1,23 x3 &= 1,5 & y3 &= 0,63
Substituindo na fórmula:
x = (0 - (-1,23))(0 - 0,63)(-2,0 - (-1,23))(-2,0 - 0,63) times 1,0 + (0 - (-2,0))(0 - 0,63)(-1,23 - (-2,0))(-1,23 - 0,63) times 1,2 + (0 - (-2,0))(0 - (-1,23))(0,63 - (-2,0))(0,63 - (-1,23)) times 1,5
Calculando cada parte:
Primeiro termo &= (1,23)(-0,63)(-0,77)(-2,63) times 1,0 approx -0,77492,0251 times 1,0 approx -0,382 Segundo termo &= (2,0)(-0,63)(0,77)(-1,86) times 1,2 approx -1,26-1,4322 times 1,2 approx 1,058 Terceiro termo &= (2,0)(1,23)(2,63)(1,86) times 1,5 approx 2,464,894 times 1,5 approx 0,754
Somando os termos:
x approx -0,382 + 1,058 + 0,754 approx 1,43

Resposta

A raiz da função estimada usando interpolação inversa com 3 pontos é aproximadamente .

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