Mostre que se lim n +infty xn=a, então, lim n +infty|xn|=|a|. A recíproca é verdadeira?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Ele nos diz que se a sequência tem o limite quando vai para o infinito, então a sequência tem o limite . Além disso, pergunta se a recíproca dessa afirmação também é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de limite de uma sequência e como a função valor absoluto ( ) afeta esses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que |xn - a| < epsilon para todo n > N . Isso quer dizer que, para todo número pequeno , existe um número tal que, para todo , a diferença entre e é menor que . Em termos matemáticos:

Passo 3

Agora, queremos mostrar que ||xn| - |a|| <= |xn - a| . Vamos usar a propriedade da função valor absoluto que nos permite relacionar com . Sabemos que:
Isso significa que a diferença entre e é no máximo a diferença entre e .

Passo 4

Dado que ||xn| - |a|| <= |xn - a| < epsilon para todo n > N para limn to +infty |xn| = |a| , então também temos que:
Isso satisfaz exatamente a definição de limite para se aproximando de . Portanto, concluímos que:

Passo 5

Agora, vamos analisar a recíproca: se , isso implica que ? A resposta é não necessariamente. Vamos ver por quê.
Considere a sequência . Aqui, para todo , então claramente . No entanto, a sequência não converge para a menos que , porque ela oscila entre e .

Resposta

Se , então . A recíproca não é verdadeira, ou seja, não garante que .

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