Mostre que se
, então,
. A recíproca é verdadeira?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Ele nos diz que se a sequência
tem o limite
quando
vai para o infinito, então a sequência
tem o limite
. Além disso, pergunta se a recíproca dessa afirmação também é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de limite de uma sequência e como a função valor absoluto (
) afeta esses limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que
. Isso quer dizer que, para todo número pequeno
, existe um número
tal que, para todo
, a diferença entre
e
é menor que
. Em termos matemáticos:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
. Vamos usar a propriedade da função valor absoluto que nos permite relacionar
com
. Sabemos que:
Isso significa que a diferença entre
e
é no máximo a diferença entre
e
.
Passo 4
Dado que
para
, então também temos que:
Isso satisfaz exatamente a definição de limite para
se aproximando de
. Portanto, concluímos que:
Passo 5
Agora, vamos analisar a recíproca: se
, isso implica que
? A resposta é não necessariamente. Vamos ver por quê.
Considere a sequência
. Aqui,
para todo
, então claramente
. No entanto, a sequência
não converge para
a menos que
, porque ela oscila entre
e
.
Resposta
Se
, então
. A recíproca não é verdadeira, ou seja,
não garante que
.