Para os sistemas acima que tiverem convergência garantida encontre as 4 primeiras iterações usando os métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel. No caso do sistema que não tenha convergência garantida, o que poderíamos fazer para que ele tivesse convergência garantida nos métodos numéricos estudados?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas:
O conteúdo que vamos utilizar aqui são os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para resolver sistemas lineares. Vamos precisar reorganizar as equações para isolar cada variável e, em seguida, realizar iterações para aproximar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar uma variável em cada uma delas. Isso facilita a aplicação dos métodos iterativos.
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Primeira Equação:
4x1 - x = 1 Rightarrow x1 = 1 + x4 Aqui, parece que houve um erro no enunciado original. Vamos supor que a primeira equação seja:4x1 - x2 = 1 Rightarrow x1 = 1 + x24 -
Segunda Equação:
-x1 + 4x2 - x3 = 1 Rightarrow x2 = 1 + x1 + x34 -
Terceira Equação:
-x2 + 4x3 - x4 = 1 Rightarrow x3 = 1 + x2 + x44 -
Quarta Equação:
-x3 + 4x4 = 1 Rightarrow x4 = 1 + x34
Agora temos todas as variáveis isoladas.
Passo 3
Vamos definir as fórmulas de iteração para os dois métodos:
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Método de Gauss-Jacobi:
Em cada iteração, usamos os valores das variáveis da iteração anterior para calcular as novas.x1^(k+1) = 1 + x2^(k)4 x2^(k+1) = 1 + x1^(k) + x3^(k)4 x3^(k+1) = 1 + x2^(k) + x4^(k)4 x4^(k+1) = 1 + x3^(k)4 -
Método de Gauss-Seidel:
Aqui, usamos os valores já atualizados assim que são calculados dentro da mesma iteração.x1^(k+1) = 1 + x2^(k)4 x2^(k+1) = 1 + x1^(k+1) + x3^(k)4 x3^(k+1) = 1 + x2^(k+1) + x4^(k)4 x4^(k+1) = 1 + x3^(k+1)4
Passo 4
Vamos começar com valores iniciais. Geralmente, assumimos que todas as variáveis começam com 0:
Agora, vamos calcular as primeiras 4 iterações para ambos os métodos.
Passo 5
Método de Gauss-Jacobi:
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Passo 6
Método de Gauss-Seidel:
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Resposta
Após 4 iterações, os valores aproximados são:
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Gauss-Jacobi:
x1 approx 0.3555, x2 approx 0.4346, x3 approx 0.4160, x4 approx 0.3516 -
Gauss-Seidel:
x1 approx 0.3648, x2 approx 0.4542, x3 approx 0.4549, x4 approx 0.3637