l 4 x1-x=1 -x1+4 x2-x3=1 -x2+4 x3-x4=1 -x3+4 x4=1
Para os sistemas acima que tiverem convergência garantida encontre as 4 primeiras iterações usando os métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel. No caso do sistema que não tenha convergência garantida, o que poderíamos fazer para que ele tivesse convergência garantida nos métodos numéricos estudados?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas:
l 4 x1 - x = 1 - x1 + 4 x2 - x3 = 1 - x2 + 4 x3 - x4 = 1 - x3 + 4 x4 = 1
O conteúdo que vamos utilizar aqui são os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para resolver sistemas lineares. Vamos precisar reorganizar as equações para isolar cada variável e, em seguida, realizar iterações para aproximar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar uma variável em cada uma delas. Isso facilita a aplicação dos métodos iterativos.
  1. Primeira Equação:
    4x1 - x = 1 Rightarrow x1 = 1 + x4
    Aqui, parece que houve um erro no enunciado original. Vamos supor que a primeira equação seja:
    4x1 - x2 = 1 Rightarrow x1 = 1 + x24
  2. Segunda Equação:
    -x1 + 4x2 - x3 = 1 Rightarrow x2 = 1 + x1 + x34
  3. Terceira Equação:
    -x2 + 4x3 - x4 = 1 Rightarrow x3 = 1 + x2 + x44
  4. Quarta Equação:
    -x3 + 4x4 = 1 Rightarrow x4 = 1 + x34
Agora temos todas as variáveis isoladas.

Passo 3

Vamos definir as fórmulas de iteração para os dois métodos:
  • Método de Gauss-Jacobi:
    Em cada iteração, usamos os valores das variáveis da iteração anterior para calcular as novas.
    x1^(k+1) = 1 + x2^(k)4 x2^(k+1) = 1 + x1^(k) + x3^(k)4 x3^(k+1) = 1 + x2^(k) + x4^(k)4 x4^(k+1) = 1 + x3^(k)4
  • Método de Gauss-Seidel:
    Aqui, usamos os valores já atualizados assim que são calculados dentro da mesma iteração.
    x1^(k+1) = 1 + x2^(k)4 x2^(k+1) = 1 + x1^(k+1) + x3^(k)4 x3^(k+1) = 1 + x2^(k+1) + x4^(k)4 x4^(k+1) = 1 + x3^(k+1)4

Passo 4

Vamos começar com valores iniciais. Geralmente, assumimos que todas as variáveis começam com 0:
x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0, x4^(0) = 0
Agora, vamos calcular as primeiras 4 iterações para ambos os métodos.

Passo 5

Método de Gauss-Jacobi:
Iteração 1:
x1^(1) = 1 + 04 = 0.25 x2^(1) = 1 + 0 + 04 = 0.25 x3^(1) = 1 + 0 + 04 = 0.25 x4^(1) = 1 + 04 = 0.25
Iteração 2:
x1^(2) = 1 + 0.254 = 0.3125 x2^(2) = 1 + 0 + 0.254 = 0.3125 x3^(2) = 1 + 0.25 + 0.254 = 0.375 x4^(2) = 1 + 0.254 = 0.3125
Iteração 3:
x1^(3) = 1 + 0.31254 = 0.328125 x2^(3) = 1 + 0.3125 + 0.3754 = 0.421875 x3^(3) = 1 + 0.3125 + 0.31254 = 0.40625 x4^(3) = 1 + 0.3754 = 0.34375
Iteração 4:
x1^(4) = 1 + 0.4218754 = 0.35546875 x2^(4) = 1 + 0.328125 + 0.406254 = 0.4345703125 x3^(4) = 1 + 0.421875 + 0.343754 = 0.416015625 x4^(4) = 1 + 0.406254 = 0.3515625

Passo 6

Método de Gauss-Seidel:
Iteração 1:
x1^(1) = 1 + 04 = 0.25 x2^(1) = 1 + 0.25 + 04 = 0.3125 x3^(1) = 1 + 0.3125 + 04 = 0.328125 x4^(1) = 1 + 0.3281254 = 0.33203125
Iteração 2:
x1^(2) = 1 + 0.31254 = 0.328125 x2^(2) = 1 + 0.328125 + 0.3281254 = 0.4140625 x3^(2) = 1 + 0.4140625 + 0.332031254 = 0.4365234375 x4^(2) = 1 + 0.43652343754 = 0.359130859375
Iteração 3:
x1^(3) = 1 + 0.41406254 = 0.40390625 x2^(3) = 1 + 0.40390625 + 0.43652343754 = 0.459107421875 x3^(3) = 1 + 0.459107421875 + 0.3591308593754 = 0.454059326171875 x4^(3) = 1 + 0.4540593261718754 = 0.36351483154296875
Iteração 4:
x1^(4) = 1 + 0.4591074218754 = 0.36477685546875 x2^(4) = 1 + 0.36477685546875 + 0.4540593261718754 = 0.454208984375 x3^(4) = 1 + 0.454208984375 + 0.363514831542968754 = 0.454930419921875 x4^(4) = 1 + 0.4549304199218754 = 0.36373260498046875

Resposta

Após 4 iterações, os valores aproximados são:
  • Gauss-Jacobi:
    x1 approx 0.3555, x2 approx 0.4346, x3 approx 0.4160, x4 approx 0.3516
  • Gauss-Seidel:
    x1 approx 0.3648, x2 approx 0.4542, x3 approx 0.4549, x4 approx 0.3637

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