Para os sistemas acima que tiverem convergência garantida encontre as 4 primeiras iterações usando os métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel. No caso do sistema que não tenha convergência garantida, o que poderíamos fazer para que ele tivesse convergência garantida nos métodos numéricos estudados?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas:
O conteúdo que vamos utilizar aqui são os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para resolver sistemas lineares. Vamos precisar reorganizar as equações para isolar cada variável e, em seguida, realizar iterações para aproximar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar uma variável em cada uma delas. Isso facilita a aplicação dos métodos iterativos.
  1. Primeira Equação:
    Aqui, parece que houve um erro no enunciado original. Vamos supor que a primeira equação seja:
  2. Segunda Equação:
  3. Terceira Equação:
  4. Quarta Equação:
Agora temos todas as variáveis isoladas.

Passo 3

Vamos definir as fórmulas de iteração para os dois métodos:
  • Método de Gauss-Jacobi:
    Em cada iteração, usamos os valores das variáveis da iteração anterior para calcular as novas.
  • Método de Gauss-Seidel:
    Aqui, usamos os valores já atualizados assim que são calculados dentro da mesma iteração.

Passo 4

Vamos começar com valores iniciais. Geralmente, assumimos que todas as variáveis começam com 0:
Agora, vamos calcular as primeiras 4 iterações para ambos os métodos.

Passo 5

Método de Gauss-Jacobi:
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:

Passo 6

Método de Gauss-Seidel:
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:

Resposta

Após 4 iterações, os valores aproximados são:
  • Gauss-Jacobi:
  • Gauss-Seidel:

Exercícios relacionados

Considere o sistema de equações lineares:
Determine o valor aproximado do vetor solução dele, usando o método iterativo de GaussSeidel, partindo do vetor nulo e usando 3 casas decimais. Pare quando: ou quando (duas iterações), o que ocorrer primeiro. Utilize 4 casas decimais e arredondamento padrão.
b) Calcule 5 iterações do método de Jacobi com vetor inicial . Qual a tolerância alcançada? Poderíamos alcançar a mesma tolerância pelo método de Seidel?
Considere a seguinte Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem:
Considerando o intervalo [0; 2], encontre a solução numérica dessa equação usando: O método de Runge-Kutta de segunda ordem com ;
Isole as raízes positivas da função:
Sabendo que as mesmas se encontram no intervalo [0,7]. Este intervalo contém quantas raízes? 3 raízes,