(b) Definimos o valor absoluto de um número inteiro
,
, como sendo
Mostre que
(i)
e
sse
.
(ii)
.
(i)
(ii)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve o conceito de valor absoluto de um número inteiro
, definido por:
Os conteúdos que vamos utilizar são as propriedades do valor absoluto e as regras de desigualdade. Precisaremos entender como o valor absoluto funciona e como aplicar essas propriedades para provar as afirmações.
Passo 2
Primeiro, vamos demonstrar que
e que
se e somente se
.
-
Mostrando que
: -
Caso 1: Se
, então . Como , fica claro que . -
Caso 2: Se
, então . Como é negativo, é positivo, então .
Portanto, em qualquer caso,sempre será maior ou igual a zero. -
-
Mostrando que
se e somente se : -
Se
: Substituindo na definição, temos , então . -
Se
: - Caso 1: Se
, então . Se , então . - Caso 2: Se
, então . Se , então , o que implica .
- Caso 1: Se
Assim,somente ocorre quando . -
Passo 3
Agora, vamos provar que
.
-
Considerando os dois casos de
: -
Caso 1: Se
, então . - A desigualdade fica
, ou seja, , que é verdadeira.
- A desigualdade fica
-
Caso 2: Se
, então . - Aqui,
, então a desigualdade fica . - Isso simplifica para
, que também é verdadeira, já que é positivo e é negativo ou zero.
- Aqui,
-
-
Conclusão:Em ambos os casos, a desigualdade
é satisfeita.
Resposta
(i)
e
se e somente se
.
(ii)
.
Exercícios relacionados
Mostre que a multiplicação de naturais é associativa.
(a) Mostre que vale o lei do cancelamento em respeito da adição para os números naturais,i.e.,
(b) Mostre que para todo
.
Observe que no ítem (b) pode-se fazer uma prova por indução como também uma prova sem usar o príncipio da indução fazendo uso do teorema de Euclides mostrando que 2 e 3 são divisores do termo . Se possível faça as duas!
Observe que no ítem (b) pode-se fazer uma prova por indução como também uma prova sem usar o príncipio da indução fazendo uso do teorema de Euclides mostrando que 2 e 3 são divisores do termo
Seja
um inteiro positivo cuja expressão na base 10 é dada por
(b)
sse
.