(b) Definimos o valor absoluto de um número inteiro , , como sendo
á
Mostre que
(i) e sse .
(ii) .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve o conceito de valor absoluto de um número inteiro , definido por:
á
Os conteúdos que vamos utilizar são as propriedades do valor absoluto e as regras de desigualdade. Precisaremos entender como o valor absoluto funciona e como aplicar essas propriedades para provar as afirmações.

Passo 2

Primeiro, vamos demonstrar que e que se e somente se .
  1. Mostrando que :
    • Caso 1: Se , então . Como , fica claro que .
    • Caso 2: Se , então . Como é negativo, é positivo, então .
    Portanto, em qualquer caso, sempre será maior ou igual a zero.
  2. Mostrando que se e somente se :
    • Se : Substituindo na definição, temos , então .
    • Se :
      • Caso 1: Se , então . Se , então .
      • Caso 2: Se , então . Se , então , o que implica .
    Assim, somente ocorre quando .

Passo 3

Agora, vamos provar que .
  1. Considerando os dois casos de :
    • Caso 1: Se , então .
      • A desigualdade fica , ou seja, , que é verdadeira.
    • Caso 2: Se , então .
      • Aqui, , então a desigualdade fica .
      • Isso simplifica para , que também é verdadeira, já que é positivo e é negativo ou zero.
  2. Conclusão:
    Em ambos os casos, a desigualdade é satisfeita.

Resposta

(i) e se e somente se .
(ii) .

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(b) sse .