Mostre que a multiplicação de naturais é associativa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a multiplicação de números naturais é associativa. Isso faz parte da matéria de álgebra, mais especificamente das propriedades das operações matemáticas. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa a propriedade associativa e como a multiplicação funciona entre os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a propriedade associativa. Dizendo de forma simples, uma operação é associativa se, ao multiplicar três números, a forma como a gente agrupa esses números não muda o resultado. Ou seja, para a multiplicação, queremos provar que:
onde , e são números naturais.
Passo 3
Agora, vamos usar a definição de multiplicação como adição repetida. Por exemplo, significa adicionar o número a si mesmo vezes. Vamos aplicar isso aos dois lados da nossa igualdade.
Primeiro, calculando :
Isso significa que estamos adicionando o resultado de a si mesmo vezes.
Passo 4
Agora, vamos calcular :
Aqui, estamos multiplicando pelo resultado de , ou seja, adicionando a si mesmo vezes.
Passo 5
Comparando os dois resultados, vemos que ambos envolvem adicionar o mesmo conjunto de números, apenas a ordem de agrupamento mudou. No caso de , primeiro multiplicamos por e depois esse resultado por . No caso de , primeiro multiplicamos por e depois esse resultado por . Mas, como a adição é associativa, a ordem dos agrupamentos não altera o resultado final.
Resposta
Portanto, mostramos que , confirmando que a multiplicação de números naturais é associativa.