Mostre que a multiplicação de naturais é associativa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a multiplicação de números naturais é associativa. Isso faz parte da matéria de álgebra, mais especificamente das propriedades das operações matemáticas. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa a propriedade associativa e como a multiplicação funciona entre os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a propriedade associativa. Dizendo de forma simples, uma operação é associativa se, ao multiplicar três números, a forma como a gente agrupa esses números não muda o resultado. Ou seja, para a multiplicação, queremos provar que:
onde , e são números naturais.

Passo 3

Agora, vamos usar a definição de multiplicação como adição repetida. Por exemplo, significa adicionar o número a si mesmo vezes. Vamos aplicar isso aos dois lados da nossa igualdade.
Primeiro, calculando :
Isso significa que estamos adicionando o resultado de a si mesmo vezes.

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Aqui, estamos multiplicando pelo resultado de , ou seja, adicionando a si mesmo vezes.

Passo 5

Comparando os dois resultados, vemos que ambos envolvem adicionar o mesmo conjunto de números, apenas a ordem de agrupamento mudou. No caso de , primeiro multiplicamos por e depois esse resultado por . No caso de , primeiro multiplicamos por e depois esse resultado por . Mas, como a adição é associativa, a ordem dos agrupamentos não altera o resultado final.

Resposta

Portanto, mostramos que , confirmando que a multiplicação de números naturais é associativa.

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(a) Mostre que vale o lei do cancelamento em respeito da adição para os números naturais,i.e.,
Determine o resto das divisões
(b) de por 7 .
(b) Definimos o valor absoluto de um número inteiro , , como sendo
á
Mostre que
(i) e sse .
(ii) .
(b) Mostre que para todo .
Observe que no ítem (b) pode-se fazer uma prova por indução como também uma prova sem usar o príncipio da indução fazendo uso do teorema de Euclides mostrando que 2 e 3 são divisores do termo . Se possível faça as duas!