Seja um inteiro positivo cuja expressão na base 10 é dada por
(b) sse .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número inteiro positivo representado na base 10 pela expressão:
A parte (b) da questão quer mostrar que 3 divide se e somente se 3 divide a soma dos seus dígitos, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de divisibilidade e propriedades da base 10.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, quando dividimos por 3, o resto é zero, ou seja, 3 é um divisor de .
Agora, olhando a expressão de :
Sabemos que qualquer potência de 10 pode ser escrita como:
E como 9 é múltiplo de 3, isso implica que:
Isso significa que, na divisão por 3, cada deixa resto 1.

Passo 3

Usando essa propriedade, podemos simplificar a expressão de módulo 3:
O que simplifica para:
Isso mostra que o resto da divisão de por 3 é o mesmo que o resto da soma dos seus dígitos por 3.

Passo 4

Portanto, se a soma dos dígitos for divisível por 3, então também será divisível por 3. E vice-versa, se é divisível por 3, a soma dos seus dígitos também será.

Resposta

Assim, concluímos que se e somente se .

Exercícios relacionados

(b) Mostre que para todo .
Observe que no ítem (b) pode-se fazer uma prova por indução como também uma prova sem usar o príncipio da indução fazendo uso do teorema de Euclides mostrando que 2 e 3 são divisores do termo . Se possível faça as duas!
(b) Definimos o valor absoluto de um número inteiro , , como sendo
á
Mostre que
(i) e sse .
(ii) .
Sejam um primo e inteiros não nulos. Mostre que se Xa, então .
Mostre que para naturais temos que
(b) .
(Dica: Faça uma prova por indução conforme feito em aula.)