Seja b um inteiro positivo cuja expressão na base 10 é dada por
b=rn 10^n+rn-1 10^n-1+ldots+r1 10+r0
(b) 3 mid b sse 3 mid(r0+ldots+rn).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número inteiro positivo b = rn 10^n + rn-1 10^n-1 + ldots + r1 10 + r0 representado na base 10 pela expressão:
3 mid b se e somente se 3 mid (r0 + r1 + ldots + rn)
A parte (b) da questão quer mostrar que 3 divide se e somente se 3 divide a soma dos seus dígitos, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de divisibilidade e propriedades da base 10.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa b = rn 10^n + rn-1 10^n-1 + ldots + r1 10 + r0 . Isso quer dizer que, quando dividimos 10^k = 9 times 10^k-1 + 1 por 3, o resto é zero, ou seja, 3 é um divisor de 10^k equiv 1 (mod 3) .
Agora, olhando a expressão de :
Sabemos que qualquer potência de 10 pode ser escrita como:
E como 9 é múltiplo de 3, isso implica que:
Isso significa que, na divisão por 3, cada deixa resto 1.

Passo 3

Usando essa propriedade, podemos simplificar a expressão de b equiv rn times 1 + rn-1 times 1 + ldots + r1 times 1 + r0 times 1 (mod 3) módulo 3:
b equiv rn + rn-1 + ldots + r1 + r0 (mod 3)
O que simplifica para:
Isso mostra que o resto da divisão de por 3 é o mesmo que o resto da soma dos seus dígitos por 3.

Passo 4

Portanto, se a soma dos dígitos for divisível por 3, então também será divisível por 3. E vice-versa, se é divisível por 3, a soma dos seus dígitos também será.

Resposta

Assim, concluímos que se e somente se .

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