Seja
um inteiro positivo cuja expressão na base 10 é dada por
(b)
sse
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número inteiro positivo
representado na base 10 pela expressão:
A parte (b) da questão quer mostrar que 3 divide
se e somente se 3 divide a soma dos seus dígitos, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de divisibilidade e propriedades da base 10.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, quando dividimos
por 3, o resto é zero, ou seja, 3 é um divisor de
.
Agora, olhando a expressão de
:
Sabemos que qualquer potência de 10 pode ser escrita como:
E como 9 é múltiplo de 3, isso implica que:
Isso significa que, na divisão por 3, cada
deixa resto 1.
Passo 3
Usando essa propriedade, podemos simplificar a expressão de
módulo 3:
O que simplifica para:
Isso mostra que o resto da divisão de
por 3 é o mesmo que o resto da soma dos seus dígitos por 3.
Passo 4
Portanto, se a soma dos dígitos
for divisível por 3, então
também será divisível por 3. E vice-versa, se
é divisível por 3, a soma dos seus dígitos também será.
Resposta
Assim, concluímos que
se e somente se
.
Exercícios relacionados
(b) Mostre que para todo
.
Observe que no ítem (b) pode-se fazer uma prova por indução como também uma prova sem usar o príncipio da indução fazendo uso do teorema de Euclides mostrando que 2 e 3 são divisores do termo . Se possível faça as duas!
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(b) Definimos o valor absoluto de um número inteiro
,
, como sendo
Mostre que
(i) e
sse
.
(ii) .
(i)
(ii)
Sejam
um primo e
inteiros não nulos. Mostre que se
Xa, então
.
Mostre que para naturais
temos que
(b) .
(Dica: Faça uma prova por indução conforme feito em aula.)
(b)
(Dica: Faça uma prova por indução conforme feito em aula.)