(b) Mostre que para todo .
Observe que no ítem (b) pode-se fazer uma prova por indução como também uma prova sem usar o príncipio da indução fazendo uso do teorema de Euclides mostrando que 2 e 3 são divisores do termo . Se possível faça as duas!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que para todo número inteiro positivo , o número é divisível por 6. Isso está relacionado com divisibilidade e fatoração. Vamos precisar provar isso de duas maneiras: usando indução matemática e verificando que tanto 2 quanto 3 dividem o termo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a prova por indução matemática. A indução é um método que permite provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais, começando por um caso base e mostrando que se é verdade para um caso, é verdade para o próximo.

Passo 3

Passo Base: Vamos verificar se a afirmação é verdadeira para . Substituindo na expressão:
Como 6 é divisível por 6, o caso base é válido.

Passo 4

Hipótese de Indução: Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum inteiro , ou seja,
Isso significa que é múltiplo de 6.

Passo 5

Passo Indutivo: Precisamos mostrar que a afirmação é verdadeira para . Vamos calcular:
Precisamos mostrar que esse produto também é divisível por 6.

Passo 6

Para isso, vamos notar que entre dois números consecutivos, sempre há pelo menos um múltiplo de 2. Além disso, entre qualquer três números consecutivos, pelo menos um é múltiplo de 3. Assim, o produto será múltiplo de 2 e de 3, logo de 6.

Passo 7

Como mostramos o caso base e o passo indutivo, pela indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo .

Passo 8

Agora, vamos fazer a prova sem indução, verificando que 2 e 3 são divisores de .

Passo 9

Primeiro, observamos que entre e , pelo menos um é par, ou seja, divisível por 2. Isso garante que 2 divide o produto.

Passo 10

Em seguida, analisamos divisibilidade por 3. Entre três números consecutivos, sempre há pelo menos um múltiplo de 3. Aqui, não são exatamente três números consecutivos, mas podemos notar que:
ao expandir, é igual a , que sempre é múltiplo de 3 para qualquer inteiro.

Passo 11

Como mostramos que tanto 2 quanto 3 dividem o produto , e como 2 e 3 são primos entre si, então 6 divide o produto.

Resposta

Portanto, para todo , temos que .

Exercícios relacionados

(b) Definimos o valor absoluto de um número inteiro , , como sendo
á
Mostre que
(i) e sse .
(ii) .
Mostre que a multiplicação de naturais é associativa.
Seja um inteiro positivo cuja expressão na base 10 é dada por
(b) sse .
Sejam um primo e inteiros não nulos. Mostre que se Xa, então .