(b) Mostre que os números inteiros com a adição formam um grupo Abeliano aditivo, i.e., a adição é associativa e comutativa, existe único elemento neutro da adição, para todo inteiro existe elemento oposto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a pergunta quer é que a gente mostre que os números inteiros, quando a gente soma, formam um Grupo Abeliano Aditivo. Basicamente, isso significa que a soma dos inteiros tem algumas propriedades legais: ela é associativa e comutativa, tem um elemento neutro (que não muda nada quando soma) e todo número tem um inverso (um número que, quando somado com ele, dá o neutro). Para isso, vamos precisar lembrar dessas propriedades e aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a soma é associativa. Isso quer dizer que, não importa como a gente agrupa os números na soma, o resultado vai ser o mesmo. Em outras palavras, para quaisquer inteiros (a + b) + c = a + (b + c) , (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 e 1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6 :
Vamos testar com alguns números pra ver:
Se , e :
Viu? O resultado foi o mesmo. Isso mostra que a adição é associativa.

Passo 3

Agora, vamos ver se a soma é comutativa. Isso significa que a gente pode trocar a ordem dos números na soma sem alterar o resultado. Ou seja, para quaisquer inteiros a + b = b + a e 1 + 2 = 3 :
2 + 1 = 3
Vamos usar os mesmos números:
Se e :
Tá vendo? A ordem não mudou o resultado, então a soma é comutativa.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento neutro da adição. O elemento neutro é um número que, quando somado a qualquer inteiro, não muda o valor desse inteiro. No caso da adição, esse número é o zero.
Matematicamente, para qualquer inteiro a + 0 = a :
0 + a = a
5 + 0 = 5
Por exemplo, se 0 + 5 = 5 :
Então, o zero é mesmo o elemento neutro da adição dos inteiros.

Passo 5

Por último, temos que mostrar que todo inteiro tem um inverso aditivo, ou seja, um número que, quando somado a ele, dá o elemento neutro (zero). Para um inteiro qualquer a + (-a) = 0 , o inverso é (-a) + a = 0 .
Vamos ver:
7 + (-7) = 0
(-7) + 7 = 0
Por exemplo, se :
Assim, cada número inteiro tem seu inverso aditivo.

Resposta

Então, juntando tudo, mostramos que a soma dos inteiros é associativa e comutativa, que existe um elemento neutro (zero) e que todo inteiro tem um inverso aditivo. Por isso, os números inteiros com a adição formam um Grupo Abeliano Aditivo.

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