(b) Mostre que os números inteiros com a adição formam um grupo Abeliano aditivo, i.e., a adição é associativa e comutativa, existe único elemento neutro da adição, para todo inteiro existe elemento oposto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a pergunta quer é que a gente mostre que os números inteiros, quando a gente soma, formam um Grupo Abeliano Aditivo. Basicamente, isso significa que a soma dos inteiros tem algumas propriedades legais: ela é associativa e comutativa, tem um elemento neutro (que não muda nada quando soma) e todo número tem um inverso (um número que, quando somado com ele, dá o neutro). Para isso, vamos precisar lembrar dessas propriedades e aplicá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a soma é associativa. Isso quer dizer que, não importa como a gente agrupa os números na soma, o resultado vai ser o mesmo. Em outras palavras, para quaisquer inteiros
,
e
:
Vamos testar com alguns números pra ver:
Se
,
e
:
Viu? O resultado foi o mesmo. Isso mostra que a adição é associativa.
Passo 3
Agora, vamos ver se a soma é comutativa. Isso significa que a gente pode trocar a ordem dos números na soma sem alterar o resultado. Ou seja, para quaisquer inteiros
e
:
Vamos usar os mesmos números:
Se
e
:
Tá vendo? A ordem não mudou o resultado, então a soma é comutativa.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o elemento neutro da adição. O elemento neutro é um número que, quando somado a qualquer inteiro, não muda o valor desse inteiro. No caso da adição, esse número é o zero.
Matematicamente, para qualquer inteiro
:
Por exemplo, se
:
Então, o zero é mesmo o elemento neutro da adição dos inteiros.
Passo 5
Por último, temos que mostrar que todo inteiro tem um inverso aditivo, ou seja, um número que, quando somado a ele, dá o elemento neutro (zero). Para um inteiro qualquer
, o inverso é
.
Vamos ver:
Por exemplo, se
:
Assim, cada número inteiro tem seu inverso aditivo.
Resposta
Então, juntando tudo, mostramos que a soma dos inteiros é associativa e comutativa, que existe um elemento neutro (zero) e que todo inteiro tem um inverso aditivo. Por isso, os números inteiros com a adição formam um Grupo Abeliano Aditivo.