Sejam
um primo e
inteiros não nulos. Mostre que se
Xa, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se
é um número primo e não divide o número
(ou seja,
), então o máximo divisor comum entre
e
é 1. Vamos usar conceitos de números primos e máximo divisor comum para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
é primo. Um número primo é aquele que só tem dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Isso é importante porque se
divide algum número, ou esse número é múltiplo de
ou não tem nenhum múltiplo de
além de 1.
Passo 3
Agora, o que é máximo divisor comum (mdc)? É o maior número que divide ambos os números sem deixar resto. No nosso caso, queremos ver qual é o maior número que divide tanto
quanto
.
Passo 4
Como
é primo, os únicos divisores de
são 1 e
mesmo. Então, para calcular o mdc entre
e
, as únicas possibilidades são 1 ou
.
Passo 5
O exercício diz que
, ou seja,
não divide
. Isso significa que
não é múltiplo de
, então
não é divisor de
.
Passo 6
Se
não divide
, a única coisa que sobra para ser o mdc é 1. Não há outro número maior que 1 que possa dividir tanto
quanto
.
Resposta
Portanto, se
, então
.
Exercícios relacionados
Seja
um inteiro positivo cuja expressão na base 10 é dada por
(b)
sse
.
(b) Mostre que para todo
.
Observe que no ítem (b) pode-se fazer uma prova por indução como também uma prova sem usar o príncipio da indução fazendo uso do teorema de Euclides mostrando que 2 e 3 são divisores do termo . Se possível faça as duas!
Observe que no ítem (b) pode-se fazer uma prova por indução como também uma prova sem usar o príncipio da indução fazendo uso do teorema de Euclides mostrando que 2 e 3 são divisores do termo
Mostre que para naturais
temos que
(b) .
(Dica: Faça uma prova por indução conforme feito em aula.)
(b)
(Dica: Faça uma prova por indução conforme feito em aula.)
(b) Mostre que os números inteiros com a adição formam um grupo Abeliano aditivo, i.e., a adição é associativa e comutativa, existe único elemento neutro da adição, para todo inteiro existe elemento oposto.