Sejam um primo e inteiros não nulos. Mostre que se Xa, então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se é um número primo e não divide o número (ou seja, ), então o máximo divisor comum entre e é 1. Vamos usar conceitos de números primos e máximo divisor comum para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que é primo. Um número primo é aquele que só tem dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Isso é importante porque se divide algum número, ou esse número é múltiplo de ou não tem nenhum múltiplo de além de 1.

Passo 3

Agora, o que é máximo divisor comum (mdc)? É o maior número que divide ambos os números sem deixar resto. No nosso caso, queremos ver qual é o maior número que divide tanto quanto .

Passo 4

Como é primo, os únicos divisores de são 1 e mesmo. Então, para calcular o mdc entre e , as únicas possibilidades são 1 ou .

Passo 5

O exercício diz que , ou seja, não divide . Isso significa que não é múltiplo de , então não é divisor de .

Passo 6

Se não divide , a única coisa que sobra para ser o mdc é 1. Não há outro número maior que 1 que possa dividir tanto quanto .

Resposta

Portanto, se , então .

Exercícios relacionados

Seja um inteiro positivo cuja expressão na base 10 é dada por
(b) sse .
(b) Mostre que para todo .
Observe que no ítem (b) pode-se fazer uma prova por indução como também uma prova sem usar o príncipio da indução fazendo uso do teorema de Euclides mostrando que 2 e 3 são divisores do termo . Se possível faça as duas!
Mostre que para naturais temos que
(b) .
(Dica: Faça uma prova por indução conforme feito em aula.)
(b) Mostre que os números inteiros com a adição formam um grupo Abeliano aditivo, i.e., a adição é associativa e comutativa, existe único elemento neutro da adição, para todo inteiro existe elemento oposto.