(a) Sejam inteiros tais que . Mostre que .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois números inteiros e onde . O objetivo é mostrar que, ao inverter os sinais desses números, a desigualdade também se inverte, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar as propriedades das desigualdades, especialmente quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados por um número negativo.

Passo 2

Primeiro, lembramos de uma regra importante das desigualdades: se você multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade muda. Isso é fundamental para resolver o problema.

Passo 3

A desigualdade que temos é . Vamos multiplicar ambos os lados dessa desigualdade por -1:
Note que o sinal da desigualdade mudou de “<” para “>” porque multiplicamos por -1, um número negativo.

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão:
Esse resultado mostra que é maior que .

Passo 5

Para deixar a desigualdade na forma desejada ( ), podemos reescrever a expressão:
Isso é apenas uma reorganização dos termos, mantendo a desigualdade correta.

Resposta

Portanto, se , então .

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(b) Mostre que os números inteiros com a adição formam um grupo Abeliano aditivo, i.e., a adição é associativa e comutativa, existe único elemento neutro da adição, para todo inteiro existe elemento oposto.
Mostre que para naturais temos que
(b) .
(Dica: Faça uma prova por indução conforme feito em aula.)
Seja um inteiro tal que .
Mostre que ou . (Dica: Use o princípio da boa ordem).
Sejam números inteiros. Mostre que
(a) Se então, e .