(a) Sejam
inteiros tais que
. Mostre que
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois números inteiros
e
onde
. O objetivo é mostrar que, ao inverter os sinais desses números, a desigualdade também se inverte, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das desigualdades, especialmente quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados por um número negativo.
Passo 2
Primeiro, lembramos de uma regra importante das desigualdades: se você multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade muda. Isso é fundamental para resolver o problema.
Passo 3
A desigualdade que temos é
. Vamos multiplicar ambos os lados dessa desigualdade por -1:
Note que o sinal da desigualdade mudou de “<” para “>” porque multiplicamos por -1, um número negativo.
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão:
Esse resultado mostra que
é maior que
.
Passo 5
Para deixar a desigualdade na forma desejada (
), podemos reescrever a expressão:
Isso é apenas uma reorganização dos termos, mantendo a desigualdade correta.
Resposta
Portanto, se
, então
.
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(b) Mostre que os números inteiros com a adição formam um grupo Abeliano aditivo, i.e., a adição é associativa e comutativa, existe único elemento neutro da adição, para todo inteiro existe elemento oposto.
Mostre que para naturais
temos que
(b) .
(Dica: Faça uma prova por indução conforme feito em aula.)
(b)
(Dica: Faça uma prova por indução conforme feito em aula.)
Seja
um inteiro tal que
.
Mostre que ou
. (Dica: Use o princípio da boa ordem).
Mostre que
Sejam
números inteiros. Mostre que
(a) Se então,
e
.
(a) Se