Mostre que para naturais
temos que
(b)
.
(Dica: Faça uma prova por indução conforme feito em aula.)
(b)
(Dica: Faça uma prova por indução conforme feito em aula.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar que, para números naturais
e
, a soma é comutativa, ou seja,
. Vamos usar o método de indução matemática, que é uma maneira passo a passo de provar que algo vale para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar o caso base, que geralmente é quando
. Vamos ver se a propriedade vale para
:
Então,
, o que confirma que a propriedade é verdadeira para
.
Passo 3
Agora, vamos para o passo indutivo. A ideia aqui é assumir que a propriedade vale para algum número natural
, ou seja, assumimos que:
Queremos provar que, se isso é verdade para
, então também é verdade para
. Vamos ver:
Aqui, usamos a definição de adição, onde
é o mesmo que
somado a
. Agora, usando a hipótese de indução
:
Assim, mostramos que
, confirmando que a propriedade também vale para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todos os números naturais
e
, temos que
.