Mostre que para naturais n, m in N temos que
(b) n+m=m+n.
(Dica: Faça uma prova por indução conforme feito em aula.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar que, para números naturais e , a soma é comutativa, ou seja, . Vamos usar o método de indução matemática, que é uma maneira passo a passo de provar que algo vale para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar o caso base, que geralmente é quando 0 + m = m . Vamos ver se a propriedade vale para m + 0 = m :
Então, , o que confirma que a propriedade é verdadeira para .

Passo 3

Agora, vamos para o passo indutivo. A ideia aqui é assumir que a propriedade vale para algum número natural k + m = m + k , ou seja, assumimos que:
(k + 1) + m = k + (1 + m)
Queremos provar que, se isso é verdade para k + (1 + m) = (k + m) + 1 = (m + k) + 1 = m + (k + 1) , então também é verdade para . Vamos ver:
Aqui, usamos a definição de adição, onde é o mesmo que somado a . Agora, usando a hipótese de indução :
Assim, mostramos que , confirmando que a propriedade também vale para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todos os números naturais e , temos que .

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