Seja
um inteiro tal que
.
Mostre que
ou
. (Dica: Use o princípio da boa ordem).
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se
é um número inteiro entre 0 e 1 (ou seja,
), então
só pode ser 0 ou 1. Vamos usar o Princípio da Boa Ordem para resolver isso. Esse princípio diz que todo conjunto de números naturais tem um menor elemento. Vamos ver como aplicar isso aqui!
Passo 2
Primeiro, vamos listar todos os números inteiros que estão entre 0 e 1. Como
é inteiro e está no intervalo
, os únicos candidatos são 0 e 1. Não existe nenhum número inteiro entre 0 e 1 além desses dois.
Passo 3
Agora, aplicando o Princípio da Boa Ordem, sabemos que o conjunto de possíveis valores de
(que são 0 e 1) tem um menor elemento. Nesse caso, o menor número é 0. Portanto, 0 é um possível valor para
.
Passo 4
Por outro lado, também podemos olhar para o maior elemento do conjunto, que é 1. Como não há nenhum número inteiro entre 0 e 1, 1 também é um valor possível para
.
Resposta
Assim, concluímos que
só pode ser 0 ou 1.
Exercícios relacionados
(a) Sejam
inteiros tais que
. Mostre que
.
(b) Mostre que os números inteiros com a adição formam um grupo Abeliano aditivo, i.e., a adição é associativa e comutativa, existe único elemento neutro da adição, para todo inteiro existe elemento oposto.
Sejam
números inteiros. Mostre que
(a) Se então,
e
.
(a) Se
Usando o algoritmo da divisão mostre que:
© De três inteiros consecutivos, um é múltiplo de 3.
© De três inteiros consecutivos, um é múltiplo de 3.