Seja um inteiro tal que .
Mostre que ou . (Dica: Use o princípio da boa ordem).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se é um número inteiro entre 0 e 1 (ou seja, ), então só pode ser 0 ou 1. Vamos usar o Princípio da Boa Ordem para resolver isso. Esse princípio diz que todo conjunto de números naturais tem um menor elemento. Vamos ver como aplicar isso aqui!

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os números inteiros que estão entre 0 e 1. Como é inteiro e está no intervalo , os únicos candidatos são 0 e 1. Não existe nenhum número inteiro entre 0 e 1 além desses dois.

Passo 3

Agora, aplicando o Princípio da Boa Ordem, sabemos que o conjunto de possíveis valores de (que são 0 e 1) tem um menor elemento. Nesse caso, o menor número é 0. Portanto, 0 é um possível valor para .

Passo 4

Por outro lado, também podemos olhar para o maior elemento do conjunto, que é 1. Como não há nenhum número inteiro entre 0 e 1, 1 também é um valor possível para .

Resposta

Assim, concluímos que só pode ser 0 ou 1.

Exercícios relacionados

(a) Sejam inteiros tais que . Mostre que .
(b) Mostre que os números inteiros com a adição formam um grupo Abeliano aditivo, i.e., a adição é associativa e comutativa, existe único elemento neutro da adição, para todo inteiro existe elemento oposto.
Sejam números inteiros. Mostre que
(a) Se então, e .
Usando o algoritmo da divisão mostre que:
© De três inteiros consecutivos, um é múltiplo de 3.