(b) A que número entre 0 e 3 é congruente módulo 4 a soma 1+2+2^2+ldots+2^19 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir qual número entre 0 e 3 é equivalente a soma de quando consideramos módulo 4. Isso é parte da matemática que lida com aritmética modular, que basicamente é como se a gente estivesse lidando com restos de divisões. Para resolver isso, vamos calcular a soma desses termos e depois encontrar o resto quando dividimos por 4.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a soma que temos: . Isso é uma progressão geométrica, onde cada termo é o dobro do anterior. A fórmula para a soma de uma progressão geométrica é , onde é o primeiro termo, é a razão, e é o número de termos.

Passo 3

Nesse caso, S = 1 times 2^20 - 12 - 1 = 2^20 - 1 , , e temos 20 termos (de até ). Plugando esses valores na fórmula, temos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar módulo 4. Isso significa descobrir o resto da divisão de por 4. Vamos primeiro calcular módulo 4.

Passo 5

Sabemos que qualquer potência de 2 maior ou igual a é múltiplo de 4. Então, é divisível por 4, ou seja, .

Passo 6

Então, temos:
2^20 - 1 equiv 0 - 1 equiv -1 mod 4
Mas normalmente queremos um número positivo no intervalo de 0 a 3. Sabemos que é equivalente a 3, porque .

Resposta

O número entre 0 e 3 que é congruente a módulo 4 é 3.

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