Use congruências para verificar
(a)
.
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar, usando congruências, se
divide
. Para isso, vamos utilizar conceitos de aritmética modular e propriedades de congruências.
Passo 2
Sabemos que se queremos verificar se um número
divide outro número
, isso é equivalente a dizer que
. No nosso caso, queremos verificar se
divide
, ou seja, se:
Passo 3
Isso significa que precisamos calcular
e ver se o resultado é igual a
. Se
, então
divide
.
Passo 4
Para facilitar os cálculos, podemos usar o Pequeno Teorema de Fermat, que afirma que se
é primo e
não é múltiplo de
, então:
Passo 5
Como
é um número primo, segundo Fermat temos:
Isso nos dá uma relação útil para calcular potências de
módulo
.
Passo 6
Queremos encontrar
. Observamos que
é exatamente metade de
, então podemos relacionar isso com a congruência de Fermat:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Precisamos determinar se
ou
. Para isso, vamos calcular
e depois elevar o resultado à 4ª potência para obter
.
Passo 8
Calculamos
. Agora, dividimos 2048 por 89 para encontrar o resto:
Portanto:
Passo 9
Agora, elevando ambos os lados à 4ª potência:
Resposta
Portanto,
divide
, já que
.
Exercícios relacionados
(b) A que número entre 0 e 3 é congruente módulo 4 a soma
?
Resolva as seguintes equações diofantinas
© .
©
Calcule o volume e área de superíficie um cilindro reto de altura 8 cm e base 10 cm que é cortado ao meio por um corte que é perpendicular ao segmento que liga os centros das bases.
A área total de um cilindro de raio
e altura
é o triplo da área lateral de um outro cilindro de raio
e altura
. Calcule
em função de
.