Resolva as seguintes equações diofantinas
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diofantina
. Equações diofantinas são aquelas onde procuramos soluções inteiras (números inteiros) para as variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar o Máximo Divisor Comum (MDC) dos coeficientes de
e
e aplicar o algoritmo de Euclides estendido. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o Máximo Divisor Comum (MDC) de 47 e 29. O MDC é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Vamos usar o algoritmo de Euclides para isso:
Quando o resto chega a 0, o divisor anterior é o MDC. Então,
.
Passo 3
Agora que sabemos que o MDC é 1, verificamos se ele divide o termo constante da equação, que é 999. Como 1 divide qualquer número, sabemos que a equação tem soluções inteiras.
Passo 4
Vamos usar o algoritmo de Euclides estendido para encontrar uma solução particular para
e
. Isso envolve reverter os passos que fizemos para encontrar o MDC:
Assim, uma solução particular é
e
.
Passo 5
Agora que temos uma solução particular
, podemos encontrar todas as soluções da equação usando a fórmula geral:
Onde
é um número inteiro qualquer. Substituindo os valores:
Passo 6
Finalmente, lembrando que a equação original é
, podemos substituir
e
pelas expressões que encontramos:
Simplificando:
Isso confirma que nossas soluções estão corretas.
Resposta
As soluções inteiras da equação
são dadas por:
Onde
é qualquer número inteiro.
Exercícios relacionados
Use o algoritmo de Euclides para obter os números
e
satisfazendo:
(a) .
(a)
Seja
um inteiro positivo cuja expressão na base 10 é dada por
(a)
sse
.
(b) A que número entre 0 e 3 é congruente módulo 4 a soma
?
Use congruências para verificar
(a) .
(a)