Resolva as seguintes equações diofantinas
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Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diofantina . Equações diofantinas são aquelas onde procuramos soluções inteiras (números inteiros) para as variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar o Máximo Divisor Comum (MDC) dos coeficientes de e e aplicar o algoritmo de Euclides estendido. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o Máximo Divisor Comum (MDC) de 47 e 29. O MDC é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Vamos usar o algoritmo de Euclides para isso:
Quando o resto chega a 0, o divisor anterior é o MDC. Então, .

Passo 3

Agora que sabemos que o MDC é 1, verificamos se ele divide o termo constante da equação, que é 999. Como 1 divide qualquer número, sabemos que a equação tem soluções inteiras.

Passo 4

Vamos usar o algoritmo de Euclides estendido para encontrar uma solução particular para e . Isso envolve reverter os passos que fizemos para encontrar o MDC:
Assim, uma solução particular é e .

Passo 5

Agora que temos uma solução particular , podemos encontrar todas as soluções da equação usando a fórmula geral:
Onde é um número inteiro qualquer. Substituindo os valores:

Passo 6

Finalmente, lembrando que a equação original é , podemos substituir e pelas expressões que encontramos:
Simplificando:
Isso confirma que nossas soluções estão corretas.

Resposta

As soluções inteiras da equação são dadas por:
Onde é qualquer número inteiro.

Exercícios relacionados

Use o algoritmo de Euclides para obter os números e satisfazendo:
(a) .
Seja um inteiro positivo cuja expressão na base 10 é dada por
(a) sse .
(b) A que número entre 0 e 3 é congruente módulo 4 a soma ?
Use congruências para verificar
(a) .