Resolva as seguintes equações diofantinas
© 47 x+29 y=999.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diofantina . Equações diofantinas são aquelas onde procuramos soluções inteiras (números inteiros) para as variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar o Máximo Divisor Comum (MDC) dos coeficientes de e e aplicar o algoritmo de Euclides estendido. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o Máximo Divisor Comum (MDC) de 47 e 29. O MDC é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Vamos usar o algoritmo de Euclides para isso:
47 &= 1 times 29 + 18 29 &= 1 times 18 + 11 18 &= 1 times 11 + 7 11 &= 1 times 7 + 4 7 &= 1 times 4 + 3 4 &= 1 times 3 + 1 3 &= 3 times 1 + 0
Quando o resto chega a 0, o divisor anterior é o MDC. Então, .

Passo 3

Agora que sabemos que o MDC é 1, verificamos se ele divide o termo constante da equação, que é 999. Como 1 divide qualquer número, sabemos que a equação tem soluções inteiras.

Passo 4

Vamos usar o algoritmo de Euclides estendido para encontrar uma solução particular para 1 &= 4 - 1 times 3 &= 4 - 1 times (7 - 1 times 4) &= 2 times 4 - 1 times 7 &= 2 times (11 - 1 times 7) - 1 times 7 &= 2 times 11 - 3 times 7 &= 2 times 11 - 3 times (18 - 1 times 11) &= 5 times 11 - 3 times 18 &= 5 times (29 - 1 times 18) - 3 times 18 &= 5 times 29 - 8 times 18 &= 5 times 29 - 8 times (47 - 1 times 29) &= 13 times 29 - 8 times 47 e . Isso envolve reverter os passos que fizemos para encontrar o MDC:
Assim, uma solução particular é e .

Passo 5

Agora que temos uma solução particular x = x0 + bMDC(a, b) times t y = y0 - aMDC(a, b) times t , podemos encontrar todas as soluções da equação usando a fórmula geral:
x = -8 + 29t y = 13 - 47t
Onde é um número inteiro qualquer. Substituindo os valores:

Passo 6

Finalmente, lembrando que a equação original é 47(-8 + 29t) + 29(13 - 47t) = 999 , podemos substituir -376 + 1363t + 377 - 1363t = 999 1 = 999 e pelas expressões que encontramos:
Simplificando:
Isso confirma que nossas soluções estão corretas.

Resposta

As soluções inteiras da equação x = -8 + 29t y = 13 - 47t são dadas por:
Onde é qualquer número inteiro.

Exercícios relacionados