Use o algoritmo de Euclides para obter os números r e s satisfazendo:
(a) m d c(56,72)=56 r+72 s.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer que usemos o algoritmo de Euclides para encontrar os números mdc(56,72) = 56, r + 72, s e que satisfazem a equação:
Aqui, o mdc representa o máximo divisor comum entre 56 e 72. Para resolver isso, vamos usar o algoritmo de Euclides, que nos ajuda a encontrar o mdc e expressá-lo como uma combinação linear dos números dados.

Passo 2

Vamos começar aplicando o algoritmo de Euclides para encontrar o mdc de 56 e 72. O algoritmo funciona dividindo o maior número pelo menor e repetindo o processo com o resto, até que o resto seja zero.
Primeiro, dividimos 72 por 56:
72 = 56 times 1 + 16
Aqui, o resto é 16.

Passo 3

Agora, aplicamos o algoritmo com 56 e 16:
56 = 16 times 3 + 8
O resto agora é 8.

Passo 4

Continuamos com 16 e 8:
16 = 8 times 2 + 0
Como o resto é 0, o mdc é o último resto diferente de zero, que é 8.

Passo 5

Agora que sabemos que 16 = 72 - 56 times 1 , vamos expressar 8 como uma combinação linear de 56 e 72. Voltamos aos passos anteriores e resolvemos as equações para encontrar 8 = 56 - 16 times 3 e 8 = 56 - (72 - 56 times 1) times 3 = 56 - 72 times 3 + 56 times 3 = 56 times 4 - 72 times 3 .
Primeiro, da primeira equação:
Da segunda equação:
Substituímos o valor de 16 na segunda equação:

Resposta

Portanto, os números são mdc(56,72) = 8 = 56 times 4 + 72 times (-3) e . Ou seja,

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