b) Tomando
como função de iteração e
como chute inicial o Método do Ponto Fixo converge?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta se o Método do Ponto Fixo converge quando usamos
como função de iteração e começamos com
. Aqui, estamos lidando com o método numérico para encontrar soluções de equações, especificamente usando iteração. Precisamos verificar se, ao aplicar repetidamente a função
a partir do chute inicial, a sequência de valores converge para um ponto fixo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a função de iteração
ao chute inicial
:
Passo 3
Agora, aplicamos a função novamente ao novo valor
:
Passo 4
Continuamos o processo com
:
Passo 5
Aplicando a função a
:
Passo 6
Vamos calcular mais uma iteração com
:
Passo 7
Observando as iterações, vemos que os valores estão se aproximando de um número específico. Para confirmar a convergência, podemos analisar a derivada da função
:
Para o Método do Ponto Fixo convergir, o valor absoluto da derivada deve ser menor que 1 no ponto fixo:
Como
é sempre menor que 1 para todo
, a condição de convergência é satisfeita.
Resposta
Sim, o Método do Ponto Fixo converge quando utilizamos
com o chute inicial
.
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