b) Tomando varphi(x)=e^-x como função de iteração e x0=0 como chute inicial o Método do Ponto Fixo converge?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se o Método do Ponto Fixo converge quando usamos varphi(x) = e^-x como função de iteração e começamos com x0 = 0. Aqui, estamos lidando com o método numérico para encontrar soluções de equações, especificamente usando iteração. Precisamos verificar se, ao aplicar repetidamente a função varphi(x) a partir do chute inicial, a sequência de valores converge para um ponto fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a função de iteração varphi(x) = e^-x ao chute inicial x0 = 0:
x1 = varphi(x0) = e^-0 = 1

Passo 3

Agora, aplicamos a função novamente ao novo valor x1 = 1:
x2 = varphi(x1) = e^-1 approx 0,3679

Passo 4

Continuamos o processo com x2 approx 0,3679:
x3 = varphi(x2) = e^-0,3679 approx 0,6922

Passo 5

Aplicando a função a x3 approx 0,6922:
x4 = varphi(x3) = e^-0,6922 approx 0,5004

Passo 6

Vamos calcular mais uma iteração com x4 approx 0,5004:
x5 = varphi(x4) = e^-0,5004 approx 0,6065

Passo 7

Observando as iterações, vemos que os valores estão se aproximando de um número específico. Para confirmar a convergência, podemos analisar a derivada da função varphi(x):
varphi'(x) = -e^-x
Para o Método do Ponto Fixo convergir, o valor absoluto da derivada deve ser menor que 1 no ponto fixo:
|varphi'(x)| = e^-x < 1
Como e^-x é sempre menor que 1 para todo x > 0, a condição de convergência é satisfeita.

Resposta

Sim, o Método do Ponto Fixo converge quando utilizamos varphi(x) = e^-x com o chute inicial x0 = 0.

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