b) Tomando como função de iteração e como chute inicial o Método do Ponto Fixo converge?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se o Método do Ponto Fixo converge quando usamos como função de iteração e começamos com . Aqui, estamos lidando com o método numérico para encontrar soluções de equações, especificamente usando iteração. Precisamos verificar se, ao aplicar repetidamente a função a partir do chute inicial, a sequência de valores converge para um ponto fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a função de iteração ao chute inicial :

Passo 3

Agora, aplicamos a função novamente ao novo valor :

Passo 4

Continuamos o processo com :

Passo 5

Aplicando a função a :

Passo 6

Vamos calcular mais uma iteração com :

Passo 7

Observando as iterações, vemos que os valores estão se aproximando de um número específico. Para confirmar a convergência, podemos analisar a derivada da função :
Para o Método do Ponto Fixo convergir, o valor absoluto da derivada deve ser menor que 1 no ponto fixo:
Como é sempre menor que 1 para todo , a condição de convergência é satisfeita.

Resposta

Sim, o Método do Ponto Fixo converge quando utilizamos com o chute inicial .

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