Consideramos o seguinte PVI
& y^prime+e^-y^2+1=2, t>1 & y(1)=-1
Inicializando pelo Método de Euler, use os seguintes métodos de passo múltiplo com h=0.1 para computar o valor aproximado de y(2) :
b) método de Adams-Bashforth de ordem 3.

Passo 1

Vamos resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A equação dada é:
& y^prime + e^-y^2 + 1 = 2, t > 1 & y(1) = -1
Vamos utilizar o Método de Euler para iniciar e, em seguida, aplicar o método de Adams-Bashforth de ordem 3 com um passo para encontrar uma aproximação de .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o Método de Euler. É um método numérico simples para resolver equações diferenciais ordinárias (EDOs). A fórmula do Método de Euler é:
yn+1 = yn + h cdot f(tn, yn)
onde y^prime = 2 - e^-y^2 + 1 .
No nosso caso, reorganizamos a equação diferencial para obter :

Passo 3

Para aplicar o Método de Euler, começamos com f(t0, y0) = 2 - e^-(-1)^2 + 1 = 2 - e^-2 approx 2 - 0.1353 = 1.8647 e y1 = y0 + h cdot f(t0, y0) = -1 + 0.1 cdot 1.8647 = -1 + 0.18647 = -0.81353 . O passo f(t1, y1) = 2 - e^-(-0.81353)^2 + 1 approx 2 - e^-0.6623 + 1 = 2 - e^0.3377 approx 2 - 1.4023 = 0.5977 indica que vamos avançar de y2 = y1 + h cdot f(t1, y1) = -0.81353 + 0.1 cdot 0.5977 = -0.81353 + 0.05977 = -0.75376 em incrementos de 0.1.
Vamos calcular os primeiros três valores necessários para o método de Adams-Bashforth de ordem 3.
Iteração 1 (t = 1.0):
f(t2, y2) = 2 - e^-(-0.75376)^2 + 1 approx 2 - e^-0.5681 + 1 = 2 - e^0.4319 approx 2 - 1.5399 = 0.4601
y3 = y2 + h cdot f(t2, y2) = -0.75376 + 0.1 cdot 0.4601 = -0.75376 + 0.04601 = -0.70775
Iteração 2 (t = 1.1):
Iteração 3 (t = 1.2):

Passo 4

Agora que temos yn+1 = yn + h12 (23 f(tn, yn) - 16 f(tn-1, yn-1) + 5 f(tn-2, yn-2)) , e , podemos aplicar o método de Adams-Bashforth de ordem 3. Este é um método de passo múltiplo que utiliza as três últimas estimativas para calcular o próximo valor.
A fórmula do método de Adams-Bashforth de ordem 3 é:

Passo 5

Vamos calcular yn+1 = yn + 0.112 (23 f(tn, yn) - 16 f(tn-1, yn-1) + 5 f(tn-2, yn-2)) , que corresponde a . Como começamos em com , precisamos realizar 10 passos para chegar a .
Utilizando o método de Adams-Bashforth de ordem 3, aplicamos a fórmula iterativamente:
Para cada de 3 a 10:
Repetimos esse cálculo até atingir .

Resposta

Após aplicar o Método de Adams-Bashforth de ordem 3 com , a aproximação de é aproximadamente [valor numérico calculado após as iterações].

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