c) Qual o número mínimo de iterações k que será realizado pelo algoritmo do método da bissecção para que o erro seja menor que 10^-8 iniciando as iterações no intervalo [0,1] ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir o número mínimo de iterações que o método da bissecção precisa fazer para que o erro seja menor que , começando com o intervalo . Então, vamos usar o método da bissecção e entender como calcular esse .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como o erro diminui no método da bissecção. A cada iteração, o tamanho do intervalo é dividido pela metade. Isso significa que, após Erro = b - a2^k iterações, o erro máximo é dado por:
Aqui, e são os limites do intervalo inicial. No nosso caso, e .

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula do erro:
1 - 02^k < 10^-8
Ou seja:
12^k < 10^-8
Queremos encontrar o menor que satisfaz essa desigualdade.

Passo 4

Para resolver 2^k > 10^8 , vamos reorganizar:
k > log2(10^8)
Agora, vamos aplicar o logaritmo de base 2 nos dois lados para isolar k > 8 times 3.3219 approx 26.575 :
Sabemos que , então:

Passo 5

Como precisa ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz é .

Resposta

O número mínimo de iterações necessárias é 27.

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