Encontre uma aproximação de
com 3 dígitos significativos, reformulando o problema através de uma equação apropriada e resolvendo-o via o método da bissecção.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente encontrar uma aproximação de
com 3 dígitos significativos. Vamos usar o método da bissecção, que é uma técnica de resolução numérica para encontrar raízes de equações. Para isso, vamos reformular o problema como uma equação e aplicar o método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, reformulamos
como uma equação. Queremos encontrar um valor de
tal que:
Ou seja, nossa equação é:
Passo 3
Agora, para aplicar o método da bissecção, precisamos de um intervalo
onde a função
muda de sinal, ou seja,
e
têm sinais opostos. Vamos testar alguns valores:
- Se
:
- Se
:
Como
e
, sabemos que a raiz está entre 1 e 2.
Passo 4
Vamos calcular o ponto médio do intervalo
:
Calculamos
:
Como
, a raiz está entre 1 e 1.5.
Passo 5
Novo intervalo
. Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
, a raiz está entre 1 e 1.25.
Passo 6
Novo intervalo
. Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
, a raiz está entre 1.125 e 1.25.
Passo 7
Novo intervalo
. Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
, a raiz está entre 1.1875 e 1.25.
Passo 8
Novo intervalo
. Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
, a raiz está entre 1.1875 e 1.21875.
Passo 9
Novo intervalo
. Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
, a raiz está entre 1.203125 e 1.21875.
Passo 10
Continuamos esse processo até alcançar 3 dígitos significativos. Após algumas iterações, encontramos que a aproximação de
é aproximadamente:
Resposta
Exercícios relacionados
c) Qual o número mínimo de iterações
que será realizado pelo algoritmo do método da bissecção para que o erro seja menor que
iniciando as iterações no intervalo
?
b) Tomando
como função de iteração e
como chute inicial o Método do Ponto Fixo converge?
Use o método da bissecção para encontrar todas as raízes reais do polinômio
com 2 dígitos significativos.
Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir (faça duas iterações para obter cada uma das aproximações).
b)
b)