Encontre uma aproximação de 3^16 com 3 dígitos significativos, reformulando o problema através de uma equação apropriada e resolvendo-o via o método da bissecção.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente encontrar uma aproximação de com 3 dígitos significativos. Vamos usar o método da bissecção, que é uma técnica de resolução numérica para encontrar raízes de equações. Para isso, vamos reformular o problema como uma equação e aplicar o método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, reformulamos x^6 = 3 como uma equação. Queremos encontrar um valor de x^6 - 3 = 0 tal que:
Ou seja, nossa equação é:

Passo 3

Agora, para aplicar o método da bissecção, precisamos de um intervalo f(1) = 1^6 - 3 = 1 - 3 = -2 onde a função f(2) = 2^6 - 3 = 64 - 3 = 61 muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Vamos testar alguns valores:
  • Se :
  • Se :
Como e , sabemos que a raiz está entre 1 e 2.

Passo 4

Vamos calcular o ponto médio do intervalo c = 1 + 22 = 1.5 :
f(1.5) = (1.5)^6 - 3 approx 11.3906 - 3 = 8.3906
Calculamos :
Como , a raiz está entre 1 e 1.5.

Passo 5

Novo intervalo c = 1 + 1.52 = 1.25 . Calculamos o ponto médio:
f(1.25) = (1.25)^6 - 3 approx 3.052 - 3 = 0.052
Calculamos :
Como , a raiz está entre 1 e 1.25.

Passo 6

Novo intervalo c = 1 + 1.252 = 1.125 . Calculamos o ponto médio:
f(1.125) = (1.125)^6 - 3 approx 2.040 - 3 = -0.960
Calculamos :
Como , a raiz está entre 1.125 e 1.25.

Passo 7

Novo intervalo c = 1.125 + 1.252 = 1.1875 . Calculamos o ponto médio:
f(1.1875) = (1.1875)^6 - 3 approx 2.907 - 3 = -0.093
Calculamos :
Como , a raiz está entre 1.1875 e 1.25.

Passo 8

Novo intervalo c = 1.1875 + 1.252 = 1.21875 . Calculamos o ponto médio:
f(1.21875) = (1.21875)^6 - 3 approx 3.001 - 3 = 0.001
Calculamos :
Como , a raiz está entre 1.1875 e 1.21875.

Passo 9

Novo intervalo c = 1.1875 + 1.218752 = 1.203125 . Calculamos o ponto médio:
f(1.203125) = (1.203125)^6 - 3 approx 2.948 - 3 = -0.052
Calculamos :
Como , a raiz está entre 1.203125 e 1.21875.

Passo 10

Continuamos esse processo até alcançar 3 dígitos significativos. Após algumas iterações, encontramos que a aproximação de é aproximadamente:

Resposta

3^16 approx 1.200

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