Consideramos o seguinte PVI
& y^prime+e^-y^2+1=2, t>1 & y(1)=-1
Inicializando pelo Método de Euler, use os seguintes métodos de passo múltiplo com h=0.1 para computar o valor aproximado de y(2) :
c) método de Adams-Bashforth de ordem 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) inicializada no ponto y^prime + e^-y^2 + 1 = 2, t > 1 com . A equação é:
O nosso objetivo é encontrar o valor aproximado de usando o método de Adams-Bashforth de quarta ordem com um passo . Para isso, a gente vai começar com o Método de Euler para obter os valores iniciais necessários para o método de passo múltiplo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Euler. É um método numérico simples para resolver EDOs, onde a gente aproxima yn+1 = yn + h cdot f(tn, yn) no próximo passo usando:
Aqui, (rearranjando a equação original).
Vamos calcular os valores de para e que serão usados pelo método de Adams-Bashforth de quarta ordem.

Passo 3

Vamos começar com f(t0, y0) = 2 - e^-(-1)^2 + 1 = 2 - e^-2 approx 2 - 0.1353 = 1.8647 e y1 = y0 + h cdot f(t0, y0) = -1 + 0.1 cdot 1.8647 approx -1 + 0.1865 = -0.8135 .
  1. f(t1, y1) = 2 - e^-(-0.8135)^2 + 1 = 2 - e^-0.6623 + 1 = 2 - e^0.3377 approx 2 - 1.4026 = 0.5974
    y2 = y1 + h cdot f(t1, y1) = -0.8135 + 0.1 cdot 0.5974 approx -0.8135 + 0.0597 = -0.7538
    Então,
    f(t2, y2) = 2 - e^-(-0.7538)^2 + 1 = 2 - e^-0.5683 + 1 = 2 - e^0.4317 approx 2 - 1.5394 = 0.4606
  2. y3 = y2 + h cdot f(t2, y2) = -0.7538 + 0.1 cdot 0.4606 approx -0.7538 + 0.0461 = -0.7077
    f(t3, y3) = 2 - e^-(-0.7077)^2 + 1 = 2 - e^-0.5004 + 1 = 2 - e^0.4996 approx 2 - 1.6482 = 0.3518
    Então,
    y4 = y3 + h cdot f(t3, y3) = -0.7077 + 0.1 cdot 0.3518 approx -0.7077 + 0.0352 = -0.6725
  3. Então,
  4. Então,
Agora temos os valores necessários para aplicar o método Adams-Bashforth de quarta ordem.

Passo 4

O método de Adams-Bashforth de quarta ordem usa os quatro passos anteriores para estimar o próximo valor de yn+1 = yn + h24 (55fn - 59fn-1 + 37fn-2 - 9fn-3) . A fórmula é:
y5 = y4 + 0.124 (55 cdot 0.2703 - 59 cdot 0.3518 + 37 cdot 0.4606 - 9 cdot 0.5974)
Onde:
  • 55 cdot 0.2703 = 14.8665 59 cdot 0.3518 = 20.7582 37 cdot 0.4606 = 17.083 9 cdot 0.5974 = 5.3766
  • 14.8665 - 20.7582 + 17.083 - 5.3766 = 14.8665 - 20.7582 = -5.8917 -5.8917 + 17.083 = 11.1913 11.1913 - 5.3766 = 5.8147
  • y5 = -0.6725 + 0.124 cdot 5.8147 approx -0.6725 + 0.1 cdot 0.2423 approx -0.6725 + 0.02423 = -0.6483
Vamos calcular esses com os valores que obtivemos:
  • (calculado anteriormente)
Agora, aplicando a fórmula:
Calculando dentro dos parênteses:
Então:
Agora,

Resposta

O valor aproximado de usando o método de Adams-Bashforth de quarta ordem com é aproximadamente -0.6483.

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