Resolver por escalonamento a sistemas:
lx+2 y+z+t=3 2 x-y+3 t=1 3 x+y-z+2 t=4 ; R: x=5-6 t5 ; y=5+3 t5 ; z=-t ; t in Re Compatível e
indeterminado.

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações usando escalonamento. O sistema dado é:
x + 2y + z + t = 3 2x - y + 3t = 1 3x + y - z + 2t = 4
A matéria envolvida aqui é a resolução de sistemas lineares usando o método de escalonamento ou eliminação de Gauss. Vamos precisar organizar as equações de forma que consigamos eliminar uma variável de cada vez para encontrar os valores das demais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada para facilitar o escalonamento:
1 & 2 & 1 & 1 & | & 3 2 & -1 & 0 & 3 & | & 1 3 & 1 & -1 & 2 & | & 4

Passo 3

O próximo passo é zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (o 1 na primeira posição). Para isso, vamos fazer:
  • Segunda linha = Segunda linha - 2 * Primeira linha
  • Terceira linha = Terceira linha - 3 * Primeira linha
Vamos calcular:
Segunda linha:
1 & 2 & 1 & 1 & | & 3 0 & -5 & -2 & 1 & | & -5 0 & -5 & -4 & -1 & | & -5 ,
,
,
,
Terceira linha:
,
,
,
,
Então, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do segundo pivô (o -5 na segunda linha, segunda coluna). Para isso, vamos fazer:
  • Terceira linha = Terceira linha - Segunda linha
Calculando:
1 & 2 & 1 & 1 & | & 3 0 & -5 & -2 & 1 & | & -5 0 & 0 & -2 & -2 & | & 0 ,
,
,
A matriz fica:

Passo 5

Agora que temos a matriz escalonada, vamos resolver de baixo para cima.
Da terceira linha:
Podemos simplificar:

Passo 6

Substituindo na segunda linha:
Simplificando:
Isolando y:

Passo 7

Agora, substituímos e na primeira equação:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 5 para eliminar o denominador:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 5 - 6t5, y = 5 + 3t5, z = -t, t in R
O sistema é compatível e indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções parametrizadas pelo valor de .

Exercícios relacionados