Uma bola é arremessada para cima com velocidade vo=30 m / s, a partir de uma altura xo=5 m, em um local onde a aceleração da gravidade é g=-9,81 m / s^2. Sabendo que
h(t)=xo+vo t+12 g t^2
Qual será o tempo gasto para a bola tocar no solo, desconsiderando o atrito com ar?

Passo 1

O enunciado nos fala sobre o movimento de uma bola que é arremessada para cima com uma velocidade inicial de vo = 30 , m/s, partindo de uma altura inicial de xo = 5 , m. Queremos descobrir quanto tempo a bola leva para tocar o chão, ignorando o atrito com o ar. Vamos usar a equação do movimento vertical que envolve a altura em função do tempo:
h(t) = xo + vo t + 12 g t^2
Aqui, g = -9,81 , m/s^2 é a aceleração da gravidade.

Passo 2

Para encontrar o tempo que a bola leva para atingir o chão, precisamos descobrir quando a altura h(t) será igual a zero:
0 = xo + vo t + 12 g t^2
Isso resulta em uma equação quadrática na forma:
12 g t^2 + vo t + xo = 0

Passo 3

Vamos organizar a equação quadrática para facilitar a aplicação da fórmula de Bhaskara:
12 g t^2 + vo t + xo = 0
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
g t^2 + 2 vo t + 2 xo = 0

Passo 4

Agora, identificamos os coeficientes da equação quadrática a t^2 + b t + c = 0:
  • a = g = -9,81 , m/s^2
  • b = 2 vo = 2 times 30 = 60 , m/s
  • c = 2 xo = 2 times 5 = 10 , m

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
t = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Substituindo os valores:
t = -60 pm raiz60^2 - 4 times (-9,81) times 102 times (-9,81)

Passo 6

Calculamos o discriminante ( De):
De

Passo 7

Calculamos a raiz quadrada do discriminante:
raiz3992,4 approx 63,19

Passo 8

Substituímos de volta na fórmula de Bhaskara:
t = -60 pm 63,19-19,62
Obtemos duas soluções:
1.
t = -60 + 63,19-19,62 = 3,19-19,62 approx -0,16 , s
t = -60 - 63,19-19,62 = -123,19-19,62 approx 6,28 , s

Resposta

O tempo gasto para a bola tocar no solo é aproximadamente 6,28 , s.

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