Considere o conjunto de pontos
. Verifique que ao ajustar a função
a esse conjunto de pontos no sentido do método dos quadrados mínimos com
e
, o sistema linear resultante para encontrar
e
é dado por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de pontos
e queremos encontrar a melhor função linear que se ajusta a esses pontos usando o método dos mínimos quadrados. A função que vamos ajustar é
, onde
e
. Para isso, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações lineares que vai nos dar os valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Esse método busca encontrar os valores de
e
que minimizam a soma dos quadrados das diferenças (resíduos) entre os valores observados
e os valores previstos pela função
. Em outras palavras, queremos minimizar a expressão:
Passo 3
Substituindo
pela expressão dada, temos:
Como
e
, isso fica:
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
que minimizam
, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e igualá-las a zero. Isso nos dará as condições de mínimo.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Simplificando:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, organizamos essas equações em um sistema linear. As duas equações que obtivemos são:
Podemos escrever esse sistema na forma matricial:
[
]
Resposta
Assim, ao aplicar o método dos mínimos quadrados para ajustar a função
aos pontos dados, obtemos o sistema linear:
[
]