Considere o conjunto de pontos . Verifique que ao ajustar a função a esse conjunto de pontos no sentido do método dos quadrados mínimos com e , o sistema linear resultante para encontrar e é dado por:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de pontos e queremos encontrar a melhor função linear que se ajusta a esses pontos usando o método dos mínimos quadrados. A função que vamos ajustar é , onde e . Para isso, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações lineares que vai nos dar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Esse método busca encontrar os valores de e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças (resíduos) entre os valores observados e os valores previstos pela função . Em outras palavras, queremos minimizar a expressão:

Passo 3

Substituindo pela expressão dada, temos:
Como e , isso fica:

Passo 4

Para encontrar os valores de e que minimizam , vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e igualá-las a zero. Isso nos dará as condições de mínimo.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Simplificando:
Agora, a derivada parcial em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, organizamos essas equações em um sistema linear. As duas equações que obtivemos são:
Podemos escrever esse sistema na forma matricial:

[


]

Resposta

Assim, ao aplicar o método dos mínimos quadrados para ajustar a função aos pontos dados, obtemos o sistema linear:

[


]

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, no ponto