Considere o conjunto de pontos (x1, y1),(x2, y2), ldots,(xm, ym). Verifique que ao ajustar a função g(x)=a1 cdot g1(x)+a2 cdot g2(x) a esse conjunto de pontos no sentido do método dos quadrados mínimos com g1(x)=1 e g2(x)=x, o sistema linear resultante para encontrar a1 e a2 é dado por:
[cc m & sumi=1^m xi sumi=1^m xi & sumi=1^m xi^2 ][c a1 a2 ]=[c sumi=1^m yi sumi=1^m yi cdot xi ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de pontos e queremos encontrar a melhor função linear que se ajusta a esses pontos usando o método dos mínimos quadrados. A função que vamos ajustar é , onde e . Para isso, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações lineares que vai nos dar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Esse método busca encontrar os valores de S = sumi=1^m (yi - g(xi))^2 e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças (resíduos) entre os valores observados e os valores previstos pela função . Em outras palavras, queremos minimizar a expressão:

Passo 3

Substituindo S = sumi=1^m (yi - (a1 cdot g1(xi) + a2 cdot g2(xi)))^2 pela expressão dada, temos:
S = sumi=1^m (yi - (a1 + a2 xi))^2
Como e , isso fica:

Passo 4

Para encontrar os valores de partial Spartial a1 = -2 sumi=1^m (yi - a1 - a2 xi) = 0 e sumi=1^m yi = a1 m + a2 sumi=1^m xi que minimizam partial Spartial a2 = -2 sumi=1^m xi (yi - a1 - a2 xi) = 0 , vamos calcular as derivadas parciais de sumi=1^m yi xi = a1 sumi=1^m xi + a2 sumi=1^m xi^2 em relação a e , e igualá-las a zero. Isso nos dará as condições de mínimo.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Simplificando:
Agora, a derivada parcial em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, organizamos essas equações em um sistema linear. As duas equações que obtivemos são:
  1. sumi=1^m yi = a1 m + a2 sumi=1^m xi
  2. sumi=1^m yi xi = a1 sumi=1^m xi + a2 sumi=1^m xi^2
Podemos escrever esse sistema na forma matricial:

[
m & sumi=1^m xi sumi=1^m xi & sumi=1^m xi^2 a1 a2 = sumi=1^m yi sumi=1^m yi xi


]

Resposta

Assim, ao aplicar o método dos mínimos quadrados para ajustar a função m & sumi=1^m xi sumi=1^m xi & sumi=1^m xi^2 a1 a2 = sumi=1^m yi sumi=1^m yi xi aos pontos dados, obtemos o sistema linear:

[


]

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