A condutividade térmica do o cobre, , pode ser aproximada pela seguinte expressão:
com a temperatura e e constantes. Além disso, temos os seguintes valores da condutividade térmica obtidos via experimento:
5 10 20 30 40
19,5 24,3 10,8 4,45 2,17
Use o método dos quadrados mínimos para ajustar a função aos dados da tabela, ou seja, encontre os valores de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma tarefa de ajustar uma função à alguns dados experimentais usando o método dos quadrados mínimos. A função que queremos ajustar é:
Aqui, é a condutividade térmica do cobre em função da temperatura . A gente precisa encontrar os valores das constantes e que melhor fazem essa função se encaixar nos dados que temos. Para isso, vamos usar o método dos quadrados mínimos, que é uma técnica estatística para minimizar a diferença entre os valores observados e os valores previstos pela nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o ajuste. Vamos chamar de o inverso de :
Substituindo na nossa função original:
Agora, a equação está na forma linear:
Isso é útil porque agora podemos tratar o problema como uma regressão linear, onde é a variável dependente e e são as variáveis independentes.

Passo 3

Vamos organizar os dados que temos:
[K] 5 10 20 30 40
[kW/(m·K)] 19,5 24,3 10,8 4,45 2,17
Primeiro, vamos calcular para cada valor de :
[K] 5 10 20 30 40
19,5 24,3 10,8 4,45 2,17
0,0513 0,0412 0,0926 0,2247 0,4608
Também vamos calcular e para cada :
[K] 5 10 20 30 40
0,200 0,100 0,050 0,0333 0,025
25 100 400 900 1600

Passo 4

Agora, vamos montar o sistema de equações para o método dos quadrados mínimos. Precisamos calcular algumas somas:
  • Soma de
  • Soma de
  • Soma de
  • Soma de
  • Soma de
  • Soma de
  • Soma de
  • Soma de
Vamos calcular cada uma:
  1. Soma de :
  2. Soma de :
  3. Soma de :
  4. Soma de :
  5. Soma de :
  6. Soma de :
  7. Soma de :
  8. Soma de :

Passo 5

Com todas essas somas, podemos montar o sistema de equações para encontrar e . O sistema fica assim:
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da matriz para facilitar:
Escrevemos o sistema na forma matricial , onde:
Para encontrar , usamos a fórmula do método dos quadrados mínimos:
Vamos calcular , e depois :
  1. Calculando :
Vamos calcular elemento por elemento:
Então,
  1. Calculando :
Calculando:
Então,
  1. Calculando :
Para uma matriz 2x2:
Calculando o determinante:
Então,
  1. Calculando :
Multiplicando a matriz inversa por :
Calculando as multiplicações:
  • Primeiro elemento:
  • Segundo elemento:
Então,

Resposta

Portanto, os valores das constantes que melhor ajustam a função aos dados experimentais, utilizando o método dos quadrados m��nimos, são aproximadamente:

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