A condutividade térmica do o cobre, k(T)[k W /(m cdot K)], pode ser aproximada pela seguinte expressão:
k(T)=1c1T+c2 T^2
com T a temperatura [K] e c1 e c2 constantes. Além disso, temos os seguintes valores da condutividade térmica obtidos via experimento:
T[K] 5 10 20 30 40
k(T)[k W /(m cdot K)] 19,5 24,3 10,8 4,45 2,17
Use o método dos quadrados mínimos para ajustar a função k(T) aos dados da tabela, ou seja, encontre os valores de c1 e c2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma tarefa de ajustar uma função à alguns dados experimentais usando o método dos quadrados mínimos. A função que queremos ajustar é:
k(T) = 1c1T + c2 T^2
Aqui, é a condutividade térmica do cobre em função da temperatura . A gente precisa encontrar os valores das constantes e que melhor fazem essa função se encaixar nos dados que temos. Para isso, vamos usar o método dos quadrados mínimos, que é uma técnica estatística para minimizar a diferença entre os valores observados e os valores previstos pela nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o ajuste. Vamos chamar de Y = 1k(T) o inverso de Y = c1T + c2 T^2 :
Y = c1 ( 1T ) + c2 T^2
Substituindo na nossa função original:
Agora, a equação está na forma linear:
Isso é útil porque agora podemos tratar o problema como uma regressão linear, onde é a variável dependente e e são as variáveis independentes.

Passo 3

Vamos organizar os dados que temos:
[K] 5 10 20 30 40
[kW/(m·K)] 19,5 24,3 10,8 4,45 2,17
Primeiro, vamos calcular para cada valor de :
[K] 5 10 20 30 40
19,5 24,3 10,8 4,45 2,17
0,0513 0,0412 0,0926 0,2247 0,4608
Também vamos calcular e para cada :
[K] 5 10 20 30 40
0,200 0,100 0,050 0,0333 0,025
25 100 400 900 1600

Passo 4

Agora, vamos montar o sistema de equações para o método dos quadrados mínimos. Precisamos calcular algumas somas:
  • Soma de SY = 0,0513 + 0,0412 + 0,0926 + 0,2247 + 0,4608 approx 0,8706
  • Soma de S1/T = 0,200 + 0,100 + 0,050 + 0,0333 + 0,025 approx 0,4083
  • Soma de ST^2 = 25 + 100 + 400 + 900 + 1600 = 3125
  • Soma de S(1/T)Y = (0,200)(0,0513) + (0,100)(0,0412) + (0,050)(0,0926) + (0,0333)(0,2247) + (0,025)(0,4608) approx 0,01026 + 0,00412 + 0,00463 + 0,00750 + 0,01152 = 0,03703
  • Soma de ST^2 Y = 25(0,0513) + 100(0,0412) + 400(0,0926) + 900(0,2247) + 1600(0,4608) approx 1,2825 + 4,12 + 37,04 + 202,23 + 737,28 = 981,95
  • Soma de S(1/T)^2 = (0,200)^2 + (0,100)^2 + (0,050)^2 + (0,0333)^2 + (0,025)^2 approx 0,0400 + 0,0100 + 0,0025 + 0,0011 + 0,0006 = 0,0542
  • Soma de S(1/T)T^2 = 0,200 times 25 + 0,100 times 100 + 0,050 times 400 + 0,0333 times 900 + 0,025 times 1600 approx 5 + 10 + 20 + 30 + 40 = 105
  • Soma de S(T^2)^2 = 25^2 + 100^2 + 400^2 + 900^2 + 1600^2 = 625 + 10.000 + 160.000 + 810.000 + 2.560.000 = 3.540.625
Vamos calcular cada uma:
  1. Soma de :
  2. Soma de :
  3. Soma de :
  4. Soma de :
  5. Soma de :
  6. Soma de :
  7. Soma de :
  8. Soma de :

Passo 5

Com todas essas somas, podemos montar o sistema de equações para encontrar S(1/T)^2 cdot c1 + S(1/T)T^2 cdot c2 = S(1/T)Y S(1/T)T^2 cdot c1 + S(T^2)^2 cdot c2 = ST^2 Y e 0,0542 cdot c1 + 105 cdot c2 = 0,03703 105 cdot c1 + 3.540.625 cdot c2 = 981,95 . O sistema fica assim:
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da matriz para facilitar:
Escrevemos o sistema na forma matricial A = 0,0542 & 105 105 & 3.540.625 , X = c1 c2 , B = 0,03703 981,95 , onde:
X = (A^T A)^-1 A^T B
Para encontrar A^T A = 0,0542 & 105 105 & 3.540.625 ^T 0,0542 & 105 105 & 3.540.625 = (0,0542)^2 + 105^2 & 0,0542 times 105 + 105 times 3.540.625 0,0542 times 105 + 105 times 3.540.625 & 105^2 + (3.540.625)^2 , usamos a fórmula do método dos quadrados mínimos:
A^T A approx 11.025 & 377.597 377.597 & 12.546.051
Vamos calcular A^T B = 0,0542 & 105 105 & 3.540.625 0,03703 981,95 = 0,0542 times 0,03703 + 105 times 981,95 105 times 0,03703 + 3.540.625 times 981,95 , A^T B approx 103.009 3.474.052 e depois a & b c & d ^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a :
  1. Calculando det = (11.025)(12.546.051) - (377.597)^2 approx 138.379.698 - 142.294.593 approx -3.914.895 :
(A^T A)^-1 approx 1-3.914.895 12.546.051 & -377.597 -377.597 & 11.025
Vamos calcular elemento por elemento:
  • X approx 1-3.914.895 12.546.051 & -377.597 -377.597 & 11.025 103.009 3.474.052
  • 12.546.051 times 103.009 + (-377.597) times 3.474.052 approx 1.295.349.304 - 1.308.168.745 approx -12.819.441
  • -377.597 times 103.009 + 11.025 times 3.474.052 approx -38.893.691 + 38.206.683 approx -687.008
Então,
X approx 1-3.914.895 -12.819.441 -687.008 approx 3.275 0.175
  1. Calculando :
Calculando:
Então,
  1. Calculando :
Para uma matriz 2x2:
Calculando o determinante:
Então,
  1. Calculando :
Multiplicando a matriz inversa por :
Calculando as multiplicações:
  • Primeiro elemento:
  • Segundo elemento:
Então,

Resposta

Portanto, os valores das constantes que melhor ajustam a função c1 approx 3,275 e c2 approx 0,175 aos dados experimentais, utilizando o método dos quadrados m��nimos, são aproximadamente:

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