A condutividade térmica do o cobre,
, pode ser aproximada pela seguinte expressão:
com
a temperatura
e
e
constantes. Além disso, temos os seguintes valores da condutividade térmica obtidos via experimento:
|
5 | 10 | 20 | 30 | 40 |
---|---|---|---|---|---|
|
19,5 | 24,3 | 10,8 | 4,45 | 2,17 |
Use o método dos quadrados mínimos para ajustar a função
aos dados da tabela, ou seja, encontre os valores de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma tarefa de ajustar uma função à alguns dados experimentais usando o método dos quadrados mínimos. A função que queremos ajustar é:
Aqui,
é a condutividade térmica do cobre em função da temperatura
. A gente precisa encontrar os valores das constantes
e
que melhor fazem essa função se encaixar nos dados que temos. Para isso, vamos usar o método dos quadrados mínimos, que é uma técnica estatística para minimizar a diferença entre os valores observados e os valores previstos pela nossa função.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o ajuste. Vamos chamar de
o inverso de
:
Substituindo na nossa função original:
Agora, a equação está na forma linear:
Isso é útil porque agora podemos tratar o problema como uma regressão linear, onde
é a variável dependente e
e
são as variáveis independentes.
Passo 3
Vamos organizar os dados que temos:
|
5 | 10 | 20 | 30 | 40 |
---|---|---|---|---|---|
|
19,5 | 24,3 | 10,8 | 4,45 | 2,17 |
Primeiro, vamos calcular
para cada valor de
:
|
5 | 10 | 20 | 30 | 40 |
---|---|---|---|---|---|
|
19,5 | 24,3 | 10,8 | 4,45 | 2,17 |
|
0,0513 | 0,0412 | 0,0926 | 0,2247 | 0,4608 |
Também vamos calcular
e
para cada
:
|
5 | 10 | 20 | 30 | 40 |
---|---|---|---|---|---|
|
0,200 | 0,100 | 0,050 | 0,0333 | 0,025 |
|
25 | 100 | 400 | 900 | 1600 |
Passo 4
Agora, vamos montar o sistema de equações para o método dos quadrados mínimos. Precisamos calcular algumas somas:
- Soma de
- Soma de
- Soma de
- Soma de
- Soma de
- Soma de
- Soma de
- Soma de
Vamos calcular cada uma:
-
Soma de
: -
Soma de
: -
Soma de
: -
Soma de
: -
Soma de
: -
Soma de
: -
Soma de
: -
Soma de
:
Passo 5
Com todas essas somas, podemos montar o sistema de equações para encontrar
e
. O sistema fica assim:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da matriz para facilitar:
Escrevemos o sistema na forma matricial
, onde:
Para encontrar
, usamos a fórmula do método dos quadrados mínimos:
Vamos calcular
,
e depois
:
- Calculando
:
Vamos calcular elemento por elemento:
Então,
- Calculando
:
Calculando:
Então,
- Calculando
:
Para uma matriz 2x2:
Calculando o determinante:
Então,
- Calculando
:
Multiplicando a matriz inversa por
:
Calculando as multiplicações:
-
Primeiro elemento:
-
Segundo elemento:
Então,
Resposta
Portanto, os valores das constantes que melhor ajustam a função
aos dados experimentais, utilizando o método dos quadrados m��nimos, são aproximadamente:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas abaixo através da definição
.
, no ponto
Uma bola é arremessada para cima com velocidade
, a partir de uma altura
, em um local onde a aceleração da gravidade é
. Sabendo que
Qual será o tempo gasto para a bola tocar no solo, desconsiderando o atrito com ar?
Calcule as derivadas abaixo através da definição
.
, no ponto
Calcule as derivadas abaixo através da definição
.
, no ponto