Calcule as derivadas abaixo através da definição f^prime(x)=lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h.
f(x)=x^2+3 x+7, no ponto x0=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a derivada da função f^prime(x) = limh 0 f(x0+h) - f(x0)h no ponto usando a definição de derivada. Basicamente, vamos usar a fórmula:
Aqui, a gente vai precisar entender como aplicar esse limite para encontrar a taxa de variação da função no ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que significa f(0 + h) = f(h) = h^2 + 3h + 7 e f(0) = 0^2 + 3 times 0 + 7 = 7 . Como , substituímos na função:
E,

Passo 3

Agora, vamos montar a expressão dentro do limite substituindo esses valores:
f(0 + h) - f(0)h = (h^2 + 3h + 7) - 7h
Simplificando o numerador:
h^2 + 3hh

Passo 4

A próxima etapa é simplificar essa fração. A gente pode dividir tanto o numerador quanto o denominador por h^2 + 3hh = h(h + 3)h = h + 3 :
Note que não é zero (estamos considerando o limite quando se aproxima de 0).

Passo 5

Agora, aplicamos o limite quando limh 0 (h + 3) = 0 + 3 = 3 tende a zero:
Isso significa que a derivada da função no ponto é 3.

Resposta

A derivada de no ponto é igual a 3.

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