Considere a equação
. Encontre a raiz positiva com quatro casas decimais corretas utilizando
(b) método de Newton.
(b) método de Newton.
Passo 1
Então, a gente tem a equação
e precisa encontrar a raiz positiva com quatro casas decimais usando o Método de Newton. O Método de Newton é uma técnica para encontrar aproximações sucessivas das raízes de uma função. Para isso, vamos precisar da função original e da sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que queremos resolver:
Agora, precisamos da derivada dessa função, pois o Método de Newton usa a derivada para melhorar as aproximações:
Passo 3
Escolher um bom chute inicial é importante para o Método de Newton. Olhando para a função, sabemos que
varia entre -1 e 1, e
cresce rapidamente. Vamos começar com
como nosso chute inicial.
Passo 4
Aplicando o Método de Newton, a fórmula é:
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Passo 6
Vamos para
:
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
Vamos para
:
Resposta
A raiz positiva da equação
encontrada pelo Método de Newton é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Seja
uma raiz da equação
. Supomos que
e
sejam contínuas e limitadas num intervalo fechado
contendo
e que
e
.
(a) Mostre que o método iterativo definido por
(a) Mostre que o método iterativo definido por
converge para
se
.
Considere a equação
. Encontre a raiz positiva com quatro casas decimais corretas utilizando
© Utilizando a expressão
© Utilizando a expressão
obtenha o valor de
para
a última iteração calculada nos itens
) e
), em que
é o erro absoluto entre a aproximação
e a raiz exata
. Considere que a solução exata é
.
A equação
tem três raízes. Considere as duas funções de iteração
(b) Mostre que
não produzem um processo iterativo convergente para a raiz próxima de 4 qualquer que seja
.
c) Estime
erro de truncamento máximo cometido no ponto
, use 4 casas decimais.