Considere a equação 4 cos (x)-e^x=0. Encontre a raiz positiva com quatro casas decimais corretas utilizando
(b) método de Newton.

Passo 1

Então, a gente tem a equação e precisa encontrar a raiz positiva com quatro casas decimais usando o Método de Newton. O Método de Newton é uma técnica para encontrar aproximações sucessivas das raízes de uma função. Para isso, vamos precisar da função original e da sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos resolver:
f(x) = 4 cos(x) - e^x
Agora, precisamos da derivada dessa função, pois o Método de Newton usa a derivada para melhorar as aproximações:
f'(x) = -4 sin(x) - e^x

Passo 3

Escolher um bom chute inicial é importante para o Método de Newton. Olhando para a função, sabemos que varia entre -1 e 1, e cresce rapidamente. Vamos começar com como nosso chute inicial.

Passo 4

Aplicando o Método de Newton, a fórmula é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos calcular f(0.5) = 4 cos(0.5) - e^0.5 approx 4 times 0.8776 - 1.6487 approx 3.5104 - 1.6487 = 1.8617 :
f'(0.5) = -4 sin(0.5) - e^0.5 approx -4 times 0.4794 - 1.6487 approx -1.9176 - 1.6487 = -3.5663
x1 = 0.5 - 1.8617-3.5663 approx 0.5 + 0.5223 = 1.0223

Passo 5

Agora, vamos calcular f(1.0223) = 4 cos(1.0223) - e^1.0223 approx 4 times 0.5230 - 2.7783 approx 2.0920 - 2.7783 = -0.6863 :
f'(1.0223) = -4 sin(1.0223) - e^1.0223 approx -4 times 0.8524 - 2.7783 approx -3.4096 - 2.7783 = -6.1879
x2 = 1.0223 - -0.6863-6.1879 approx 1.0223 - 0.1110 = 0.9113

Passo 6

Vamos para f(0.9113) = 4 cos(0.9113) - e^0.9113 approx 4 times 0.6110 - 2.4869 approx 2.4440 - 2.4869 = -0.0429 :
f'(0.9113) = -4 sin(0.9113) - e^0.9113 approx -4 times 0.7911 - 2.4869 approx -3.1644 - 2.4869 = -5.6513
x3 = 0.9113 - -0.0429-5.6513 approx 0.9113 - 0.0076 = 0.9037

Passo 7

Calculando f(0.9037) = 4 cos(0.9037) - e^0.9037 approx 4 times 0.6182 - 2.4699 approx 2.4728 - 2.4699 = 0.0029 :
f'(0.9037) = -4 sin(0.9037) - e^0.9037 approx -4 times 0.7855 - 2.4699 approx -3.1420 - 2.4699 = -5.6119
x4 = 0.9037 - 0.0029-5.6119 approx 0.9037 + 0.0005 = 0.9042

Passo 8

Vamos para f(0.9042) = 4 cos(0.9042) - e^0.9042 approx 4 times 0.6180 - 2.4708 approx 2.4720 - 2.4708 = 0.0012 :
f'(0.9042) = -4 sin(0.9042) - e^0.9042 approx -4 times 0.7851 - 2.4708 approx -3.1404 - 2.4708 = -5.6112
x5 = 0.9042 - 0.0012-5.6112 approx 0.9042 + 0.0002 = 0.9044

Resposta

A raiz positiva da equação encontrada pelo Método de Newton é aproximadamente .

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