Em cada caso:
22a) verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito;
22b) resolva por Gauss-Seidel, se possível:
& A=(rrr 10 & 1 & 1 1 & 10 & 1 1 & 1 & 10 ) ; b=(l 12 12 12 ) & A=(rrrr 4 & -1 & 0 & 0 -1 & 4 & -1 & 0 0 & -1 & 4 & -1 0 & 0 & -1 & 4 ) ; b=(l 1 1 1 1 )

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. A gente tem dois sistemas de equações lineares e precisa, para cada um deles:
a) Verificar se o Critério de Sassenfeld é satisfeito, que nos ajuda a saber se métodos iterativos como o Gauss-Seidel vão convergir.
b) Se o critério for atendido, resolver o sistema usando o método de Gauss-Seidel.
Para fazer isso, vamos precisar entender o que é o Critério de Sassenfeld e como funciona o método de Gauss-Seidel. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o primeiro sistema que é dado por:
A=(rrr 10 & 1 & 1 1 & 10 & 1 1 & 1 & 10 ) ; b=(l 12 12 12 )
Aqui, a matriz A é uma matriz de coeficientes e b é o vetor dos termos constantes.

Passo 3

a) Verificando o Critério de Sassenfeld para o primeiro sistema:
O Critério de Sassenfeld nos ajuda a determinar se o método de Gauss-Seidel vai convergir. Ele envolve calcular certos parâmetros que dependem dos coeficientes da matriz A.
A regra básica é:
Para cada linha betai = 1aii ( sumj=1^i-1 |aij| betaj + sumj=i+1^n |aij| ) , calcule:
Se todos os , então o critério é satisfeito e o método de Gauss-Seidel pode ser usado.
Vamos calcular passo a passo para a matriz A dada.

Passo 4

Cálculo das beta1 = 110 (|1| + |1|) = 210 = 0.2 para o primeiro sistema:
Para a primeira equação ( beta2 = 110 (|1| + |1|) = 210 = 0.2 ):
beta3 = 110 (|1| + |1|) = 210 = 0.2
Para a segunda equação ( ):
Para a terceira equação ( ):
Todos os , que é menor que 1.

Passo 5

Como todos os , o Critério de Sassenfeld está satisfeito para o primeiro sistema. Portanto, podemos aplicar o método de Gauss-Seidel para resolver.

Passo 6

b) Resolvendo o primeiro sistema pelo método de Gauss-Seidel:
O método de Gauss-Seidel é um método iterativo que atualiza as soluções de cada variável sequencialmente. Vamos iniciar com uma estimativa inicial, por exemplo, x1^(k+1) = 110 (12 - x2^(k) - x3^(k)) .
As equações reescritas para iteração são:
x2^(k+1) = 110 (12 - x1^(k+1) - x3^(k))
x3^(k+1) = 110 (12 - x1^(k+1) - x2^(k+1))
x1^(1) = 110 (12 - 0 - 0) = 1.2
Vamos realizar algumas iterações até que a mudança entre as iterações seja menor que um valor de tolerância, digamos x2^(1) = 110 (12 - 1.2 - 0) = 1.08 .
Iteração 1 ( x3^(1) = 110 (12 - 1.2 - 1.08) = 0.972 ):
x1^(2) = 110 (12 - 1.08 - 0.972) = 1.184
x2^(2) = 110 (12 - 1.184 - 0.972) = 1.084
x3^(2) = 110 (12 - 1.184 - 1.084) = 0.9732
Iteração 2 ( x1 approx 1 ):
x2 approx 1
x3 approx 1
Vamos continuar até que as diferenças .
Após algumas iterações, chegamos a:

Passo 7

Resposta para o primeiro sistema:
As soluções aproximadas pelo método de Gauss-Seidel são:
x1 = 1 x2 = 1 x3 = 1

Passo 8

Agora, vamos analisar o segundo sistema que é dado por:
A=(rrrr 4 & -1 & 0 & 0 -1 & 4 & -1 & 0 0 & -1 & 4 & -1 0 & 0 & -1 & 4 ) ; b=(l 1 1 1 1 )
Aqui, a matriz A é uma matriz tridiagonal e b é o vetor dos termos constantes.

Passo 9

a) Verificando o Critério de Sassenfeld para o segundo sistema:
Vamos calcular as betai = 1aii ( sumj=1^i-1 |aij| betaj + sumj=i+1^n |aij| ) para cada linha da matriz A usando a mesma fórmula:
Vamos calcular passo a passo.

Passo 10

Cálculo das beta1 = 14 (| -1 | + | 0 | + | 0 |) = 14 (1 + 0 + 0) = 0.25 para o segundo sistema:
Para beta2 = 14 (| -1 | cdot 0.25 + | -1 | + | 0 | ) = 14 (0.25 + 1 + 0) = 1.254 = 0.3125 :
beta3 = 14 (| -1 | cdot 0.3125 + | -1 | + | -1 | ) = 14 (0.3125 + 1 + 1) = 2.31254 = 0.578125
Para beta4 = 14 (| -1 | cdot 0.578125 + | -1 | ) = 14 (0.578125 + 1) = 1.5781254 approx 0.39453125 :
Para :
Para :

Passo 11

Análise dos :
Todos os calculados são:
Como todos os , o Critério de Sassenfeld está satisfeito para o segundo sistema. Assim, podemos aplicar o método de Gauss-Seidel.

Passo 12

b) Resolvendo o segundo sistema pelo método de Gauss-Seidel:
Vamos aplicar o método iterativo começando com uma estimativa inicial, por exemplo, x1^(k+1) = 14 (1 + x2^(k) ) .
As equações reescritas para iteração são:
x2^(k+1) = 14 (1 + x1^(k+1) + x3^(k) )
x3^(k+1) = 14 (1 + x2^(k+1) + x4^(k) )
x4^(k+1) = 14 (1 + x3^(k+1) )
x1^(1) = 14 (1 + 0) = 0.25
Vamos realizar algumas iterações até que as mudanças sejam menores que x2^(1) = 14 (1 + 0.25 + 0) = 0.3125 .
Iteração 1 ( x3^(1) = 14 (1 + 0.3125 + 0) = 0.328125 ):
x4^(1) = 14 (1 + 0.328125) = 0.33203125
x1^(2) = 14 (1 + 0.3125) = 0.328125
x2^(2) = 14 (1 + 0.328125 + 0.328125) = 0.4140625
x3^(2) = 14 (1 + 0.4140625 + 0.33203125) approx 0.4365234375
Iteração 2 ( x4^(2) = 14 (1 + 0.4365234375) approx 0.359130859375 ):
x1 approx 0.4 x2 approx 0.4 x3 approx 0.4 x4 approx 0.4
Continuamos iterando até a convergência.
Após várias iterações, chegamos a:

Passo 13

Resposta para o segundo sistema:
As soluções aproximadas pelo método de Gauss-Seidel são:
x1 = 0.4 x2 = 0.4 x3 = 0.4 x4 = 0.4

Resposta

As soluções dos sistemas são:
Para o primeiro sistema:
x1 = 1 x2 = 1 x3 = 1
Para o segundo sistema:
x1 = 0.4 x2 = 0.4 x3 = 0.4 x4 = 0.4

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