Aqui, a matriz A é uma matriz de coeficientes e b é o vetor dos termos constantes.
Passo 3
a) Verificando o Critério de Sassenfeld para o primeiro sistema:
O Critério de Sassenfeld nos ajuda a determinar se o método de Gauss-Seidel vai convergir. Ele envolve calcular certos parâmetros que dependem dos coeficientes da matriz A.
A regra básica é:
Para cada linha betai = 1aii ( sumj=1^i-1 |aij| betaj + sumj=i+1^n |aij| ) , calcule:
Se todos os , então o critério é satisfeito e o método de Gauss-Seidel pode ser usado.
Vamos calcular passo a passo para a matriz A dada.
Passo 4
Cálculo das beta1 = 110 (|1| + |1|) = 210 = 0.2 para o primeiro sistema:
Para a primeira equação ( beta2 = 110 (|1| + |1|) = 210 = 0.2 ):
beta3 = 110 (|1| + |1|) = 210 = 0.2
Para a segunda equação ():
Para a terceira equação ():
Todos os , que é menor que 1.
Passo 5
Como todos os , o Critério de Sassenfeld está satisfeito para o primeiro sistema. Portanto, podemos aplicar o método de Gauss-Seidel para resolver.
Passo 6
b) Resolvendo o primeiro sistema pelo método de Gauss-Seidel:
O método de Gauss-Seidel é um método iterativo que atualiza as soluções de cada variável sequencialmente. Vamos iniciar com uma estimativa inicial, por exemplo, x1^(k+1) = 110 (12 - x2^(k) - x3^(k)) .
As equações reescritas para iteração são:
x2^(k+1) = 110 (12 - x1^(k+1) - x3^(k))
x3^(k+1) = 110 (12 - x1^(k+1) - x2^(k+1))
x1^(1) = 110 (12 - 0 - 0) = 1.2
Vamos realizar algumas iterações até que a mudança entre as iterações seja menor que um valor de tolerância, digamos x2^(1) = 110 (12 - 1.2 - 0) = 1.08 .