Em cada caso:
22a) verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito;
22b) resolva por Gauss-Seidel, se possível:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. A gente tem dois sistemas de equações lineares e precisa, para cada um deles:
a) Verificar se o Critério de Sassenfeld é satisfeito, que nos ajuda a saber se métodos iterativos como o Gauss-Seidel vão convergir.
b) Se o critério for atendido, resolver o sistema usando o método de Gauss-Seidel.
Para fazer isso, vamos precisar entender o que é o Critério de Sassenfeld e como funciona o método de Gauss-Seidel. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o primeiro sistema que é dado por:
Aqui, a matriz A é uma matriz de coeficientes e b é o vetor dos termos constantes.
Passo 3
a) Verificando o Critério de Sassenfeld para o primeiro sistema:
O Critério de Sassenfeld nos ajuda a determinar se o método de Gauss-Seidel vai convergir. Ele envolve calcular certos parâmetros que dependem dos coeficientes da matriz A.
A regra básica é:
Para cada linha , calcule:
Se todos os , então o critério é satisfeito e o método de Gauss-Seidel pode ser usado.
Vamos calcular passo a passo para a matriz A dada.
Passo 4
Cálculo das para o primeiro sistema:
Para a primeira equação ():
Para a segunda equação ():
Para a terceira equação ():
Todos os , que é menor que 1.
Passo 5
Como todos os , o Critério de Sassenfeld está satisfeito para o primeiro sistema. Portanto, podemos aplicar o método de Gauss-Seidel para resolver.
Passo 6
b) Resolvendo o primeiro sistema pelo método de Gauss-Seidel:
O método de Gauss-Seidel é um método iterativo que atualiza as soluções de cada variável sequencialmente. Vamos iniciar com uma estimativa inicial, por exemplo, .
As equações reescritas para iteração são:
Vamos realizar algumas iterações até que a mudança entre as iterações seja menor que um valor de tolerância, digamos .
Iteração 1 ():
Iteração 2 ():
Vamos continuar até que as diferenças .
Após algumas iterações, chegamos a:
Passo 7
Resposta para o primeiro sistema:
As soluções aproximadas pelo método de Gauss-Seidel são:
Passo 8
Agora, vamos analisar o segundo sistema que é dado por:
Aqui, a matriz A é uma matriz tridiagonal e b é o vetor dos termos constantes.
Passo 9
a) Verificando o Critério de Sassenfeld para o segundo sistema:
Vamos calcular as para cada linha da matriz A usando a mesma fórmula:
Vamos calcular passo a passo.
Passo 10
Cálculo das para o segundo sistema:
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 11
Análise dos :
Todos os calculados são:
Como todos os , o Critério de Sassenfeld está satisfeito para o segundo sistema. Assim, podemos aplicar o método de Gauss-Seidel.
Passo 12
b) Resolvendo o segundo sistema pelo método de Gauss-Seidel:
Vamos aplicar o método iterativo começando com uma estimativa inicial, por exemplo, .
As equações reescritas para iteração são:
Vamos realizar algumas iterações até que as mudanças sejam menores que .
Iteração 1 ():
Iteração 2 ():
Continuamos iterando até a convergência.
Após várias iterações, chegamos a:
Passo 13
Resposta para o segundo sistema:
As soluções aproximadas pelo método de Gauss-Seidel são: