Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Gauss-Seidel, com no máximo 10 iterações:
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o método de Gauss-Seidel. O enunciado nos dá um sistema com quatro equações e quatro incógnitas ( , , , ). A gente começa com um chute inicial onde todas as variáveis são zero: . Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que satisfazem todas as equações, com uma precisão de erro menor que , ou seja, para cada variável, em até 10 iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de uma forma que cada variável fique isolada:
Isso é importante porque, no método de Gauss-Seidel, a gente atualiza cada variável uma de cada vez usando os valores mais recentes disponíveis.

Passo 3

Vamos iniciar a primeira iteração usando .
Iteração 1:
  1. Calcular
  1. Calcular
  1. Calcular
  1. Calcular
Agora, nosso vetor atualizado é:

Passo 4

Vamos verificar se a diferença entre e é menor que para todas as variáveis:
Como todas as diferenças são maiores que 0,01, precisamos continuar para mais iterações.

Passo 5

Iteração 2:
  1. Calcular
  1. Calcular
  1. Calcular
  1. Calcular
Nosso vetor agora é:

Passo 6

Verificando a diferença entre e :
Ainda não atingimos a precisão desejada, então seguimos para a próxima iteração.

Passo 7

Iteração 3:
  1. Calcular
  1. Calcular
  1. Calcular
  1. Calcular
Vetor atualizado:

Passo 8

Vamos verificar a diferença entre e :
A diferença para já está dentro do tolerado, mas as demais ainda não, então seguimos.

Passo 9

Iteração 4:
  1. Calcular
  1. Calcular
  1. Calcular
  1. Calcular
Vetor atualizado:

Passo 10

Vamos verificar a diferença entre e :
Ainda temos algumas diferenças acima do limite, então vamos para a próxima iteração.

Passo 11

Iteração 5:
  1. Calcular
  1. Calcular
  1. Calcular
  1. Calcular
(Nota: Continuar as iterações seguindo o mesmo padrão até que todas as diferenças sejam menores que 0,01 ou até completar 10 iterações.)

Resposta

Após aplicar o método de Gauss-Seidel por várias iterações (até 10 ou até alcançar a precisão desejada), obtemos a solução aproximada para o vetor que satisfaz o sistema linear dado dentro do erro especificado . A resposta final será algo semelhante a:
(Os valores exatos podem variar ligeiramente dependendo das iterações realizadas.)

Exercícios relacionados

a) Mostre que resolver , onde A é matriz e B são matrizes , é o mesmo que resolver m sistemas do tipo , onde A é matriz , vetores .
b) Usando o item (a), verifique que pode ser obtida através de resolução de n sistemas lineares.
c) Entre o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU, qual o mais indicado para o cálculo de ?
d) Aplique o método escolhido no item © para obter a inversa da matriz
Podemos encontrar a fatoração LU de A diretamente, usando simplesmente a definição de produto de matrizes. Esquemas deste tipo são conhecidos como esquemas compactos, e o equivalente à fatoração com L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior é chamado de redução de Doolittle.
Supondo que a fatoração LU de A seja possível, de uma forma única,
a) multiplique a primeira linha de L pela j -ésima coluna de U e iguale a . Verifique que desta forma obtém-se o elemento ;
b) repita o item (a), multiplicando agora a i-ésima linha de L pela primeira coluna de U , e igualando a será possível obter ;
c) use o mesmo raciocínio de (a) e (b) para deduzir que, se as ( ) primeiras linhas de U e colunas de L já foram determinadas, então
e

d) explique por que, se A é não singular, então também o será, donde ,
e) escreva um algoritmo para a fatoração LU de A usando a redução de Doolittle;
f) teste seu algoritmo, fatorando A e entāo resolvendo o sistema abaixo, sendo
Resolver pelo método de Gauss-Seidel ou Jacobi com
Em cada caso:
22a) verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito;
22b) resolva por Gauss-Seidel, se possível: