Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Gauss-Seidel, com no máximo 10 iterações:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o método de Gauss-Seidel. O enunciado nos dá um sistema com quatro equações e quatro incógnitas (, , , ). A gente começa com um chute inicial onde todas as variáveis são zero: . Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que satisfazem todas as equações, com uma precisão de erro menor que , ou seja, para cada variável, em até 10 iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de uma forma que cada variável fique isolada:
Isso é importante porque, no método de Gauss-Seidel, a gente atualiza cada variável uma de cada vez usando os valores mais recentes disponíveis.
Passo 3
Vamos iniciar a primeira iteração usando .
Iteração 1:
Calcular
Calcular
Calcular
Calcular
Agora, nosso vetor atualizado é:
Passo 4
Vamos verificar se a diferença entre e é menor que para todas as variáveis:
Como todas as diferenças são maiores que 0,01, precisamos continuar para mais iterações.
Passo 5
Iteração 2:
Calcular
Calcular
Calcular
Calcular
Nosso vetor agora é:
Passo 6
Verificando a diferença entre e :
Ainda não atingimos a precisão desejada, então seguimos para a próxima iteração.
Passo 7
Iteração 3:
Calcular
Calcular
Calcular
Calcular
Vetor atualizado:
Passo 8
Vamos verificar a diferença entre e :
A diferença para já está dentro do tolerado, mas as demais ainda não, então seguimos.
Passo 9
Iteração 4:
Calcular
Calcular
Calcular
Calcular
Vetor atualizado:
Passo 10
Vamos verificar a diferença entre e :
Ainda temos algumas diferenças acima do limite, então vamos para a próxima iteração.
Passo 11
Iteração 5:
Calcular
Calcular
Calcular
Calcular
(Nota: Continuar as iterações seguindo o mesmo padrão até que todas as diferenças sejam menores que 0,01 ou até completar 10 iterações.)
Resposta
Após aplicar o método de Gauss-Seidel por várias iterações (até 10 ou até alcançar a precisão desejada), obtemos a solução aproximada para o vetor que satisfaz o sistema linear dado dentro do erro especificado . A resposta final será algo semelhante a:
(Os valores exatos podem variar ligeiramente dependendo das iterações realizadas.)