Ao resolver um sistema linear por um método direto, vários problemas podem implicar a obtenção de uma solução, , apenas aproximada, para . Chamamos r0=Ax0-b o resíduo associado a x0. Note que r0=Ax0-b=Ax0-A x=A(x0-x)=Az. Se A z=r0 fosse resolvido sem erro, então barx=x0-z seria a solução do sistema: este não é o caso, mas esta observação pode ser usada como base para um esquema iterativo para
É razoável supormos que x1=x0-tildez(tildez, solução aproximada de Az=r0 ) seja uma
Algoritmo: (Refinamento Iterativo)
Seja r uma solução (aproximada) para Ax=b, obtida por algum método direto, varepsilon>0 e itmax o número máximo de iteraçōes permitido.
Para i=1,2, ldots, itmax r=A x-b
z : solução de Az=r x=x-z
se má1 <= i <= n|zi| / máx1 <= i <= n|xi|, fim. A solução é x . Se i>itmax, envie mensagem de não convergência em itmax iterações.
30a) Justifique por que devemos usar fatoração LU neste caso para resolver os sistemas envolvidos.
30b) Neste caso, não devemos sobrepor L e U em A. Justifique.
Passo 1
Então, temos um exercício que fala sobre resolver sistemas lineares do tipo Ax = b usando um método direto e um esquema iterativo chamado Refinamento Iterativo. Vamos focar nas duas partes da questão:
30a) Por que devemos usar fatoração LU para resolver os sistemas envolvidos?
30b) Por que não devemos sobrepor (ou sobrescrever) L e U em A neste caso?
Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte 30a: Por que usar fatoração LU?
A fatoração LU divide a matriz A em duas matrizes: uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U. Isso simplifica a resolução de sistemas lineares porque:
Eficiência: Uma vez que temos L e U, podemos resolver múltiplos sistemas Ax = b com diferentes vetores b de forma mais rápida.
Estabilidade Numérica: A fatoração LU ajuda a minimizar erros de arredondamento durante os cálculos, tornando os resultados mais precisos.
No contexto do Refinamento Iterativo, precisamos resolver o sistema Az = r0 várias vezes. Usar a fatoração LU torna esse processo mais eficiente e preciso.
Passo 3
Parte 30b: Por que não sobrescrever L e U em A?
Sobrescrever as matrizes L e U diretamente na matriz A pode causar problemas porque:
Preservação de A: Queremos manter a matriz original A intacta para possíveis iterações futuras ou para outros cálculos que dependam dela. Se sobrescrevermos A com L e U, perdemos a informação original.
Reutilização dos Fatores: Manter L e U separados permite reutilizá-los facilmente em cada iteração sem precisar refatorar A a cada vez, o que economiza tempo e recursos computacionais.
Portanto, é melhor manter L e U em estruturas de dados separadas em vez de sobrescrever a matriz A.
Resposta
30a) Devemos usar fatoração LU porque ela divide a matriz A em duas matrizes triangulares, facilitando a resolução eficiente e numericamente estável dos sistemas lineares necessários no esquema de Refinamento Iterativo.
30b) Não devemos sobrescrever L e U em A para preservar a matriz original A, garantindo que possamos reutilizar os fatores L e U sem perder dados importantes para futuras iterações.