Ao resolver um sistema linear por um método direto, vários problemas podem implicar a obtenção de uma solução, , apenas aproximada, para . Chamamos o resíduo associado a . Note que . Se fosse resolvido sem erro, então seria a solução do sistema: este não é o caso, mas esta observação pode ser usada como base para um esquema iterativo para
É razoável supormos que , solução aproximada de ) seja uma
Algoritmo: (Refinamento Iterativo)
Seja r uma solução (aproximada) para , obtida por algum método direto, itmax o número máximo de iteraçōes permitido.
Para , itmax
z : solução de
se , fim. A solução é x . Se , envie mensagem de não convergência em itmax iterações.
30a) Justifique por que devemos usar fatoração LU neste caso para resolver os sistemas envolvidos.
30b) Neste caso, não devemos sobrepor L e U em A. Justifique.
Passo 1
Então, temos um exercício que fala sobre resolver sistemas lineares do tipo usando um método direto e um esquema iterativo chamado Refinamento Iterativo. Vamos focar nas duas partes da questão:
30a) Por que devemos usar fatoração LU para resolver os sistemas envolvidos?
30b) Por que não devemos sobrepor (ou sobrescrever) L e U em A neste caso?
Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte 30a: Por que usar fatoração LU?
A fatoração LU divide a matriz em duas matrizes: uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior . Isso simplifica a resolução de sistemas lineares porque:
Eficiência: Uma vez que temos e , podemos resolver múltiplos sistemas com diferentes vetores de forma mais rápida.
Estabilidade Numérica: A fatoração LU ajuda a minimizar erros de arredondamento durante os cálculos, tornando os resultados mais precisos.
No contexto do Refinamento Iterativo, precisamos resolver o sistema várias vezes. Usar a fatoração LU torna esse processo mais eficiente e preciso.
Passo 3
Parte 30b: Por que não sobrescrever L e U em A?
Sobrescrever as matrizes e diretamente na matriz pode causar problemas porque:
Preservação de A: Queremos manter a matriz original intacta para possíveis iterações futuras ou para outros cálculos que dependam dela. Se sobrescrevermos com e , perdemos a informação original.
Reutilização dos Fatores: Manter e separados permite reutilizá-los facilmente em cada iteração sem precisar refatorar a cada vez, o que economiza tempo e recursos computacionais.
Portanto, é melhor manter e em estruturas de dados separadas em vez de sobrescrever a matriz .
Resposta
30a) Devemos usar fatoração LU porque ela divide a matriz em duas matrizes triangulares, facilitando a resolução eficiente e numericamente estável dos sistemas lineares necessários no esquema de Refinamento Iterativo.
30b) Não devemos sobrescrever e em para preservar a matriz original , garantindo que possamos reutilizar os fatores e sem perder dados importantes para futuras iterações.