Resolver pelo método de Gauss-Seidel ou Jacobi com

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas. Aqui, temos um sistema de 3 equações com 3 incógnitas:
Vamos começar com uma suposição inicial e queremos que a precisão seja menor que . Para isso, precisamos reescrever cada equação resolvendo uma das variáveis em termos das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada equação de forma a isolar uma variável:
  1. Da primeira equação:
  1. Da segunda equação:
  1. Da terceira equação:
Essas fórmulas nos permitem atualizar os valores de , e em cada iteração com base nos valores anteriores.

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações. Nossa suposição inicial é . Vamos calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
Então, .

Passo 4

Vamos para a segunda iteração, calculando usando :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
Então, .

Passo 5

Agora, a terceira iteração para encontrar :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
Então, .

Passo 6

Vamos verificar se a precisão atende ao critério . Calculamos a diferença entre e :
Como , precisamos continuar iterando.

Passo 7

Prossigamos para a quarta iteração, calculando usando :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
Então, .

Passo 8

Vamos novamente verificar a precisão:
Ainda , então continuamos.

Resposta

Após várias iterações, a solução aproximada do sistema, com a precisão , é:

Exercícios relacionados

Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Gauss-Seidel, com no máximo 10 iterações:
e
a) Mostre que resolver , onde A é matriz e B são matrizes , é o mesmo que resolver m sistemas do tipo , onde A é matriz , vetores .
b) Usando o item (a), verifique que pode ser obtida através de resolução de n sistemas lineares.
c) Entre o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU, qual o mais indicado para o cálculo de ?
d) Aplique o método escolhido no item © para obter a inversa da matriz
Em cada caso:
22a) verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito;
22b) resolva por Gauss-Seidel, se possível:
Ao resolver um sistema linear por um método direto, vários problemas podem implicar a obtenção de uma solução, , apenas aproximada, para . Chamamos o resíduo associado a . Note que . Se fosse resolvido sem erro, então seria a solução do sistema: este não é o caso, mas esta observação pode ser usada como base para um esquema iterativo para
É razoável supormos que , solução aproximada de ) seja uma
Algoritmo: (Refinamento Iterativo)
Seja r uma solução (aproximada) para , obtida por algum método direto, itmax o número máximo de iteraçōes permitido.
Para , itmax

z : solução de

se , fim. A solução é x . Se , envie mensagem de não convergência em itmax iterações.
30a) Justifique por que devemos usar fatoração LU neste caso para resolver os sistemas envolvidos.
30b) Neste caso, não devemos sobrepor L e U em A. Justifique.