Resolver pelo método de Gauss-Seidel ou Jacobi com
epsilon<10^-3 e x^(0)=[lll 0 & 0 & 0 ]^T
rr 4 x1-2 x2+x3= & 3 x1-4 x2+x3= & -2 x1+2 x2+4 x3=7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas. Aqui, temos um sistema de 3 equações com 3 incógnitas:
rr 4 x1-2 x2+x3= & 3 x1-4 x2+x3= & -2 x1+2 x2+4 x3=7
Vamos começar com uma suposição inicial x^(0) = 0 0 0 e queremos que a precisão seja menor que 10^-3. Para isso, precisamos reescrever cada equação resolvendo uma das variáveis em termos das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada equação de forma a isolar uma variável:
  1. Da primeira equação:
4x1 = 3 + 2x2 - x3 x1 = 3 + 2x2 - x34
  1. Da segunda equação:
-4x2 = -2 - x1 - x3 x2 = 2 + x1 + x34
  1. Da terceira equação:
4x3 = 7 - x1 - 2x2 x3 = 7 - x1 - 2x24
Essas fórmulas nos permitem atualizar os valores de x1, x2 e x3 em cada iteração com base nos valores anteriores.

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações. Nossa suposição inicial é x^(0) = 0 0 0. Vamos calcular x^(1):
  1. Calcular x1^(1):
x1^(1) = 3 + 2(0) - 04 = 34 = 0.75
  1. Calcular x2^(1):
x2^(1) = 2 + 0 + 04 = 24 = 0.5
  1. Calcular x3^(1):
x3^(1) = 7 - 0 - 2(0)4 = 74 = 1.75
Então, x^(1) = 0.75 0.5 1.75.

Passo 4

Vamos para a segunda iteração, calculando x^(2) usando x^(1):
  1. Calcular x1^(2):
x1^(2) = 3 + 2(0.5) - 1.754 = 3 + 1 - 1.754 = 2.254 = 0.5625
  1. Calcular x2^(2):
x2^(2) = 2 + 0.75 + 1.754 = 4.54 = 1.125
  1. Calcular x3^(2):
x3^(2) = 7 - 0.75 - 2(0.5)4 = 7 - 0.75 -14 = 5.254 = 1.3125
Então, x^(2) = 0.5625 1.125 1.3125.

Passo 5

Agora, a terceira iteração para encontrar x^(3):
  1. Calcular x1^(3):
x1^(3) = 3 + 2(1.125) - 1.31254 = 3 + 2.25 -1.31254 = 3.93754 = 0.984375
  1. Calcular x2^(3):
x2^(3) = 2 + 0.5625 + 1.31254 = 3.8754 = 0.96875
  1. Calcular x3^(3):
x3^(3) = 7 - 0.5625 - 2(1.125)4 = 7 - 0.5625 - 2.254 = 4.18754 = 1.046875
Então, x^(3) = 0.984375 0.96875 1.046875.

Passo 6

Vamos verificar se a precisão atende ao critério epsilon < 10^-3. Calculamos a diferença entre x^(3) e x^(2):
||x^(3) - x^(2)|| = max(|0.984375 - 0.5625|, |0.96875 - 1.125|, |1.046875 - 1.3125|) = max(0.421875, 0.15625, 0.265625) = 0.421875
Como 0.421875 > 10^-3, precisamos continuar iterando.

Passo 7

Prossigamos para a quarta iteração, calculando x^(4) usando x^(3):
  1. Calcular x1^(4):
x1^(4) = 3 + 2(0.96875) - 1.0468754 = 3 + 1.9375 -1.0468754 = 3.8906254 = 0.97265625
  1. Calcular x2^(4):
x2^(4) = 2 + 0.984375 + 1.0468754 = 4.031254 = 1.0078125
  1. Calcular x3^(4):
x3^(4) = 7 - 0.984375 - 2(0.96875)4 = 7 - 0.984375 -1.93754 = 4.0781254 = 1.01953125
Então, x^(4) = 0.97265625 1.0078125 1.01953125.

Passo 8

Vamos novamente verificar a precisão:
||x^(4) - x^(3)|| = max(|0.97265625 - 0.984375|, |1.0078125 - 0.96875|, |1.01953125 - 1.046875|) = max(0.01171875, 0.0390625, 0.02734375) = 0.0390625
Ainda 0.0390625 > 10^-3, então continuamos.

Resposta

Após várias iterações, a solução aproximada do sistema, com a precisão epsilon < 10^-3, é:
x approx 1.000 1.000 1.000

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