Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através da solução do método de Jacobi, com no máximo 10 iterações
& x^(0)=[llll 0 & 0 & 0 & 0 ]^T e epsilon<10^-2 & 4 x1+x2+x3+x4= & 7 2 x1-8 x2+x3-x4= & -6 x1+2 x2-5 x3+x4= & -1 x1+x2+x3-4 x4= & -1
& x^(0)=[llll 1 & 3 & 1 & 3 ]^T e^T epsilon<10^-2 & 5 x1-x2+2 x3-x4 & =5 x1+9 x2-3 x3+4 x4 & =26 3 x2-7 x3+2 x4 & =-7 -2 x1+2 x2-3 x3+10 x4 & =33
& x^(0)=[lllll 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]^T e epsilon<10^-2 & 10 x1+4 x2-x3+3 x4= & 2 -8 x2-2 x3+x4-3 x5= & 5 2 x1-4 x2+7 x3 & =13 -x1+2 x2-3 x3-10 x4+2 x5= & 4 2 x1-x2-x3+x4-7 x5= & 7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Jacobi! A gente tem um sistema com 4 equações e 4 incógnitas:
4 x1 + x2 + x3 + x4 = 7 2 x1 - 8 x2 + x3 - x4 = -6 x1 + 2 x2 - 5 x3 + x4 = -1 x1 + x2 + x3 - 4 x4 = -1
A gente vai usar o método de Jacobi pra encontrar as soluções de e começando com uma estimativa inicial e vamos parar quando a mudança for menor que ou após 10 iterações.

Passo 2

Primeiro, a gente reorganiza cada equação pra isolar cada x1 = 7 - x2 - x3 - x44 x2 = -6 - 2 x1 - x3 + x4-8 x3 = -1 - x1 - 2 x2 - x4-5 x4 = -1 - x1 - x2 - x3-4 . Isso é essencial pro método de Jacobi, onde a gente atualiza cada variável baseado nas antigas estimativas das outras. Vamos reescrever o sistema:
x1^(k+1) = 7 - x2^(k) - x3^(k) - x4^(k)4 x2^(k+1) = -6 - 2 x1^(k) - x3^(k) + x4^(k)-8 x3^(k+1) = -1 - x1^(k) - 2 x2^(k) - x4^(k)-5 x4^(k+1) = -1 - x1^(k) - x2^(k) - x3^(k)-4
Simplificando:

Passo 3

Agora, a gente começa as iterações. Vamos calcular cada x1^(1) = 7 - 0 - 0 - 04 = 74 = 1.75 x2^(1) = -6 - 0 - 0 + 0-8 = -6-8 = 0.75 x3^(1) = -1 - 0 - 0 - 0-5 = -1-5 = 0.2 x4^(1) = -1 - 0 - 0 - 0-4 = -1-4 = 0.25 passo a passo, atualizando as variáveis até que a mudança entre as iterações seja menor que x1^(2) = 7 - 0.75 - 0.2 - 0.254 = 5.84 = 1.45 x2^(2) = -6 - 2(1.75) - 0.2 + 0.25-8 = -6 - 3.5 - 0.2 + 0.25-8 = -9.45-8 = 1.18125 x3^(2) = -1 - 1.75 - 2(0.75) - 0.25-5 = -1 -1.75 -1.5 -0.25-5 = -4.5-5 = 0.9 x4^(2) = -1 -1.75 -0.75 -0.2-4 = -3.7-4 = 0.925 ou até completar 10 iterações.
Iteração 1 ( |1.45 - 1.75| = 0.3 |1.18125 - 0.75| = 0.43125 |0.9 - 0.2| = 0.7 |0.925 - 0.25| = 0.675 ):
Usando x1^(3) = 7 - 1.18125 - 0.9 - 0.9254 = 4.04 = 1.0 x2^(3) = -6 - 2(1.45) - 0.9 + 0.925-8 = -6 -2.9 -0.9 +0.925-8 = -9.875-8 = 1.234375 x3^(3) = -1 -1.45 -2(1.18125) -0.925-5 = -1 -1.45 -2.3625 -0.925-5 = -5.7375-5 = 1.1475 x4^(3) = -1 -1.45 -1.18125 -0.9-4 = -4.53125-4 = 1.1328125 :
|1.0 - 1.45| = 0.45 |1.234375 - 1.18125| = 0.053125 |1.1475 - 0.9| = 0.2475 |1.1328125 - 0.925| = 0.2078125
Iteração 2 ( x1^(4) = 7 - 1.234375 - 1.1475 - 1.13281254 = 3.48531254 = 0.871328125 x2^(4) = -6 - 2(1.0) -1.1475 +1.1328125-8 = -6 -2 -1.1475 +1.1328125-8 = -8.0146875-8 = 1.0018359375 x3^(4) = -1 -1.0 -2(1.234375) -1.1328125-5 = -1 -1 -2.46875 -1.1328125-5 = -5.6015625-5 = 1.1203125 x4^(4) = -1 -1.0 -1.234375 -1.1475-4 = -4.381875-4 = 1.09546875 ):
Usando |0.871328125 - 1.0| = 0.128671875 |1.0018359375 - 1.234375| = 0.2325390625 |1.1203125 - 1.1475| = 0.0271875 |1.09546875 - 1.1328125| = 0.03734375 :
x1^(5) = 7 - 1.0018359375 -1.1203125 -1.095468754 = 3.78238381254 = 0.945595953125 x2^(5) = -6 -2(0.871328125) -1.1203125 +1.09546875-8 = -6 -1.74265625 -1.1203125 +1.09546875-8 = -7.7675-8 = 0.9709375 x3^(5) = -1 -0.871328125 -2(1.0018359375) -1.09546875-5 = -1 -0.871328125 -2.003671875 -1.09546875-5 = -4.97046875-5 = 0.99409375 x4^(5) = -1 -0.871328125 -1.0018359375 -1.1203125-4 = -4.0-4 = 1.0
Vamos checar a diferença entre |0.945595953125 - 0.871328125| approx 0.074267828125 |0.9709375 - 1.0018359375| approx 0.0308984375 |0.99409375 - 1.1203125| approx 0.12621875 |1.0 - 1.09546875| = 0.09546875 e x1^(6) = 7 -0.9709375 -0.99409375 -1.04 = 4.035968754 = 1.0089921875 x2^(6) = -6 -2(0.945595953125) -0.99409375 +1.0-8 = -6 -1.89119190625 -0.99409375 +1.0-8 = -7.88528565625-8 approx 0.98566070703125 x3^(6) = -1 -0.945595953125 -2(0.9709375) -1.0-5 = -1 -0.945595953125 -1.941875 -1.0-5 = -4.887470953125-5 approx 0.977494190625 x4^(6) = -1 -0.945595953125 -0.9709375 -0.99409375-4 = -3.910627203125-4 approx 0.97765680078125 :
|1.0089921875 - 0.945595953125| approx 0.063396234375 |0.98566070703125 - 0.9709375| approx 0.01472320703125 |0.977494190625 - 0.99409375| approx 0.016599559375 |0.97765680078125 - 1.0| approx 0.02234319921875
Todas as diferenças são maiores que x1^(7) = 7 -0.98566070703125 -0.977494190625 -0.977656800781254 approx 4.05918830256254 approx 1.014797075640625 x2^(7) = -6 -2(1.0089921875) -0.977494190625 +0.97765680078125-8 = -6 -2.017984375 -0.977494190625 +0.97765680078125-8 approx -8.01782176584375-8 approx 1.0022277207304688 x3^(7) = -1 -1.0089921875 -2(0.98566070703125) -0.97765680078125-5 = -1 -1.0089921875 -1.9713214140625 -0.97765680078125-5 approx -4.95797040234375-5 approx 0.99159408046875 x4^(7) = -1 -1.0089921875 -0.98566070703125 -0.977494190625-4 approx -3.97214608515625-4 approx 0.9930365212890625 , então seguimos.
Iteração 3 ( |1.014797075640625 - 1.0089921875| approx 0.005804888140625 |1.0022277207304688 - 0.98566070703125| approx 0.01656701369921875 |0.99159408046875 - 0.977494190625| approx 0.01409988984375 |0.9930365212890625 - 0.97765680078125| approx 0.0153797205078125 ):
Usando x1^(8) = 7 -1.0022277207304688 -0.99159408046875 -0.99303652128906254 approx 4.013141677511724 approx 1.0032854193779297 x2^(8) = -6 -2(1.014797075640625) -0.99159408046875 +0.9930365212890625-8 = -6 -2.02959415128125 -0.99159408046875 +0.9930365212890625-8 approx -8.028151710460938-8 approx 1.0035189763076172 x3^(8) = -1 -1.014797075640625 -2(1.0022277207304688) -0.9930365212890625-5 = -1 -1.014797075640625 -2.0044554414609375 -0.9930365212890625-5 approx -5.012288038390625-5 approx 1.002457607678125 x4^(8) = -1 -1.014797075640625 -1.0022277207304688 -0.99159408046875-4 approx -4.008618876839844-4 approx 1.0021547192099609 :
|1.0032854193779297 - 1.014797075640625| approx 0.011511656262695312 |1.0035189763076172 - 1.0022277207304688| approx 0.0012912555771484375 |1.002457607678125 - 0.99159408046875| approx 0.010863527209375 |1.0021547192099609 - 0.9930365212890625| approx 0.009118197920898438
Diferenças:
Ainda tem várias diferenças acima de , seguimos.
Iteração 4 ( ):
Usando :
Diferenças:
Ainda acima de , seguimos.
Iteração 5 ( ):
Usando :
Diferenças:
Ainda acima de , vamos continuar.
Iteração 6 ( ):
Usando :
Diferenças:
As diferenças ainda estão acima de , mas já estão bem pequenas. Vamos fazer mais uma iteração.
Iteração 7 ( ):
Usando :
Diferenças:
Agora, as diferenças estão próximas de . Vamos fazer mais uma iteração para verificar.
Iteração 8 ( ):
Usando :
Diferenças:
Agora, as diferenças estão bem próximas de . Podemos parar aqui com uma aproximação razoável.

Resposta

Após 8 iterações, o vetor solução aproximado é:
x approx 1.0033 1.0035 1.0025 1.0022

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