Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através da solução do método de Jacobi, com no máximo 10 iterações
& x^(0)=[llll 1 & 3 & 1 & 3 ]^T e^T epsilon<10^-2 & 5 x1-x2+2 x3-x4 & =5 x1+9 x2-3 x3+4 x4 & =26 3 x2-7 x3+2 x4 & =-7 -2 x1+2 x2-3 x3+10 x4 & =33
& x^(0)=[lllll 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]^T e epsilon<10^-2 & 10 x1+4 x2-x3+3 x4= & 2 -8 x2-2 x3+x4-3 x5= & 5 2 x1-4 x2+7 x3 & =13 -x1+2 x2-3 x3-10 x4+2 x5= & 4 2 x1-x2-x3+x4-7 x5= & 7
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Jacobi! A gente tem um sistema com 4 equações e 4 incógnitas:
A gente vai usar o método de Jacobi pra encontrar as soluções de
e
começando com uma estimativa inicial
e vamos parar quando a mudança for menor que
ou após 10 iterações.
Passo 2
Primeiro, a gente reorganiza cada equação pra isolar cada
x1 = 7 - x2 - x3 - x44 x2 = -6 - 2 x1 - x3 + x4-8 x3 = -1 - x1 - 2 x2 - x4-5 x4 = -1 - x1 - x2 - x3-4 . Isso é essencial pro método de Jacobi, onde a gente atualiza cada variável baseado nas antigas estimativas das outras. Vamos reescrever o sistema:
Simplificando:
Passo 3
Agora, a gente começa as iterações. Vamos calcular cada
x1^(1) = 7 - 0 - 0 - 04 = 74 = 1.75 x2^(1) = -6 - 0 - 0 + 0-8 = -6-8 = 0.75 x3^(1) = -1 - 0 - 0 - 0-5 = -1-5 = 0.2 x4^(1) = -1 - 0 - 0 - 0-4 = -1-4 = 0.25 passo a passo, atualizando as variáveis até que a mudança entre as iterações seja menor que
x1^(2) = 7 - 0.75 - 0.2 - 0.254 = 5.84 = 1.45 x2^(2) = -6 - 2(1.75) - 0.2 + 0.25-8 = -6 - 3.5 - 0.2 + 0.25-8 = -9.45-8 = 1.18125 x3^(2) = -1 - 1.75 - 2(0.75) - 0.25-5 = -1 -1.75 -1.5 -0.25-5 = -4.5-5 = 0.9 x4^(2) = -1 -1.75 -0.75 -0.2-4 = -3.7-4 = 0.925 ou até completar 10 iterações.
Iteração 1 (
|1.45 - 1.75| = 0.3 |1.18125 - 0.75| = 0.43125 |0.9 - 0.2| = 0.7 |0.925 - 0.25| = 0.675 ):
Usando
x1^(3) = 7 - 1.18125 - 0.9 - 0.9254 = 4.04 = 1.0 x2^(3) = -6 - 2(1.45) - 0.9 + 0.925-8 = -6 -2.9 -0.9 +0.925-8 = -9.875-8 = 1.234375 x3^(3) = -1 -1.45 -2(1.18125) -0.925-5 = -1 -1.45 -2.3625 -0.925-5 = -5.7375-5 = 1.1475 x4^(3) = -1 -1.45 -1.18125 -0.9-4 = -4.53125-4 = 1.1328125 :
Iteração 2 (
x1^(4) = 7 - 1.234375 - 1.1475 - 1.13281254 = 3.48531254 = 0.871328125 x2^(4) = -6 - 2(1.0) -1.1475 +1.1328125-8 = -6 -2 -1.1475 +1.1328125-8 = -8.0146875-8 = 1.0018359375 x3^(4) = -1 -1.0 -2(1.234375) -1.1328125-5 = -1 -1 -2.46875 -1.1328125-5 = -5.6015625-5 = 1.1203125 x4^(4) = -1 -1.0 -1.234375 -1.1475-4 = -4.381875-4 = 1.09546875 ):
Usando
|0.871328125 - 1.0| = 0.128671875 |1.0018359375 - 1.234375| = 0.2325390625 |1.1203125 - 1.1475| = 0.0271875 |1.09546875 - 1.1328125| = 0.03734375 :
Vamos checar a diferença entre
|0.945595953125 - 0.871328125| approx 0.074267828125 |0.9709375 - 1.0018359375| approx 0.0308984375 |0.99409375 - 1.1203125| approx 0.12621875 |1.0 - 1.09546875| = 0.09546875 e
x1^(6) = 7 -0.9709375 -0.99409375 -1.04 = 4.035968754 = 1.0089921875 x2^(6) = -6 -2(0.945595953125) -0.99409375 +1.0-8 = -6 -1.89119190625 -0.99409375 +1.0-8 = -7.88528565625-8 approx 0.98566070703125 x3^(6) = -1 -0.945595953125 -2(0.9709375) -1.0-5 = -1 -0.945595953125 -1.941875 -1.0-5 = -4.887470953125-5 approx 0.977494190625 x4^(6) = -1 -0.945595953125 -0.9709375 -0.99409375-4 = -3.910627203125-4 approx 0.97765680078125 :
Todas as diferenças são maiores que
x1^(7) = 7 -0.98566070703125 -0.977494190625 -0.977656800781254 approx 4.05918830256254 approx 1.014797075640625 x2^(7) = -6 -2(1.0089921875) -0.977494190625 +0.97765680078125-8 = -6 -2.017984375 -0.977494190625 +0.97765680078125-8 approx -8.01782176584375-8 approx 1.0022277207304688 x3^(7) = -1 -1.0089921875 -2(0.98566070703125) -0.97765680078125-5 = -1 -1.0089921875 -1.9713214140625 -0.97765680078125-5 approx -4.95797040234375-5 approx 0.99159408046875 x4^(7) = -1 -1.0089921875 -0.98566070703125 -0.977494190625-4 approx -3.97214608515625-4 approx 0.9930365212890625 , então seguimos.
Iteração 3 (
|1.014797075640625 - 1.0089921875| approx 0.005804888140625 |1.0022277207304688 - 0.98566070703125| approx 0.01656701369921875 |0.99159408046875 - 0.977494190625| approx 0.01409988984375 |0.9930365212890625 - 0.97765680078125| approx 0.0153797205078125 ):
Usando
x1^(8) = 7 -1.0022277207304688 -0.99159408046875 -0.99303652128906254 approx 4.013141677511724 approx 1.0032854193779297 x2^(8) = -6 -2(1.014797075640625) -0.99159408046875 +0.9930365212890625-8 = -6 -2.02959415128125 -0.99159408046875 +0.9930365212890625-8 approx -8.028151710460938-8 approx 1.0035189763076172 x3^(8) = -1 -1.014797075640625 -2(1.0022277207304688) -0.9930365212890625-5 = -1 -1.014797075640625 -2.0044554414609375 -0.9930365212890625-5 approx -5.012288038390625-5 approx 1.002457607678125 x4^(8) = -1 -1.014797075640625 -1.0022277207304688 -0.99159408046875-4 approx -4.008618876839844-4 approx 1.0021547192099609 :
Diferenças:
Ainda tem várias diferenças acima de
, seguimos.
Iteração 4 (
):
Usando
:
Diferenças:
Ainda acima de
, seguimos.
Iteração 5 (
):
Usando
:
Diferenças:
Ainda acima de
, vamos continuar.
Iteração 6 (
):
Usando
:
Diferenças:
As diferenças ainda estão acima de
, mas já estão bem pequenas. Vamos fazer mais uma iteração.
Iteração 7 (
):
Usando
:
Diferenças:
Agora, as diferenças estão próximas de
. Vamos fazer mais uma iteração para verificar.
Iteração 8 (
):
Usando
:
Diferenças:
Agora, as diferenças estão bem próximas de
. Podemos parar aqui com uma aproximação razoável.
Resposta
Após 8 iterações, o vetor solução aproximado é: