(3 pontos) Utilize o método das diferenças divididas finitas para calcular o valor de com precisão de 2 casas decimais a partir de um polinômio de grau 3.
Solução
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o método das diferenças divididas finitas para calcular o valor de ln 2 com precisão de duas casas decimais, usando um polinômio de grau 3. Isso significa que vamos aproximar a função logarítmica natural em torno de um ponto, utilizando um polinômio que tem termos até .
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher um ponto onde vamos expandir o polinômio. Vamos escolher porque calcular é fácil (sabemos que ). Agora, vamos calcular as diferenças divididas até o terceiro grau.
Passo 3
Vamos criar uma tabela com os valores de e próximos a . Vamos escolher pontos próximos para melhores aproximações:
Passo 4
Agora, vamos calcular as diferenças divididas. As diferenças divididas de ordem são calculadas usando as diferenças de ordem . Vamos calcular até a terceira ordem porque queremos um polinômio de grau 3.
Primeiro, as diferenças de primeira ordem:
Fazemos isso para cada par consecutivo de pontos.
Passo 5
Depois, calculamos as diferenças de segunda ordem usando as diferenças de primeira ordem:
E assim por diante para a terceira ordem.
Passo 6
Com todas as diferenças divididas calculadas, montamos o polinômio de Newton:
Substituímos os valores que encontramos na tabela.
Passo 7
Finalmente, substituímos no polinômio para estimar .
Resposta
Após os cálculos, obtemos uma estimativa para de aproximadamente 0,69.