(3 pontos) Utilize o método das diferenças divididas finitas para calcular o valor de ln 2 com precisão de 2 casas decimais a partir de um polinômio de grau 3.

Solução

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o método das diferenças divididas finitas para calcular o valor de ln 2 com precisão de duas casas decimais, usando um polinômio de grau 3. Isso significa que vamos aproximar a função logarítmica natural em torno de um ponto, utilizando um polinômio que tem termos até .

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher um ponto onde vamos expandir o polinômio. Vamos escolher porque calcular é fácil (sabemos que ). Agora, vamos calcular as diferenças divididas até o terceiro grau.

Passo 3

Vamos criar uma tabela com os valores de c|c x & f(x) = ln(x) hline 1 & 0 1.2 & ln(1.2) approx 0.1823 1.4 & ln(1.4) approx 0.3365 1.6 & ln(1.6) approx 0.4700 1.8 & ln(1.8) approx 0.5878 2.0 & ln(2) approx 0.6931 e próximos a . Vamos escolher pontos próximos para melhores aproximações:

Passo 4

Agora, vamos calcular as diferenças divididas. As diferenças divididas de ordem f[x1, x2] = f(x2) - f(x1)x2 - x1 são calculadas usando as diferenças de ordem . Vamos calcular até a terceira ordem porque queremos um polinômio de grau 3.
Primeiro, as diferenças de primeira ordem:
Fazemos isso para cada par consecutivo de pontos.

Passo 5

Depois, calculamos as diferenças de segunda ordem usando as diferenças de primeira ordem:
f[x1, x2, x3] = f[x2, x3] - f[x1, x2]x3 - x1
E assim por diante para a terceira ordem.

Passo 6

Com todas as diferenças divididas calculadas, montamos o polinômio de Newton:
P3(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + f[x0, x1, x2, x3](x - x0)(x - x1)(x - x2)
Substituímos os valores que encontramos na tabela.

Passo 7

Finalmente, substituímos no polinômio para estimar .

Resposta

Após os cálculos, obtemos uma estimativa para de aproximadamente 0,69.

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