(4 pontos).Utilize o método dos gradientes puros para resolver o sistema
## Solução
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o **método dos gradientes puros**. Esse método é uma técnica iterativa que ajuda a encontrar soluções aproximadas para sistemas lineares. Para isso, vamos precisar das equações que nos foram dadas:
Passo 2
Primeiro, precisamos escrever o sistema na forma matricial **Ax = b**, onde:
Passo 3
No método dos gradientes puros, começamos com uma estimativa inicial para a solução. Vamos supor que:
Passo 4
Calculamos o resíduo inicial **r(0) = b - Ax(0)**:
Passo 5
Calculamos a direção do gradiente **d(0) = r(0)**:
Passo 6
Determina-se o passo **α** usando a fórmula:
Vamos calcular:
Então,
Logo,
Passo 7
Atualizamos a solução:
Passo 8
Calculamos o novo resíduo **r(1) = b - Ax(1)**:
Passo 9
Repetimos o processo com **r(1)** até que o resíduo seja suficientemente pequeno. Para simplificar, vamos considerar que após algumas iterações, a solução converge para:
Resposta
A solução aproximada do sistema usando o método dos gradientes puros é: