Para cada uma das equações seguintes, calcule pelo menos uma raiz com precisão de 0.001 pelos métodos da Bisseção, Falsa Posição e Newton-Raphson e compare os resultados obtidos.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação
pra encontrar uma raiz com uma precisão de 0.001. Vamos usar três métodos diferentes: Bisseção, Falsa Posição e Newton-Raphson. Para isso, precisamos entender como cada método funciona e aplicar direitinho pra chegar no resultado.
Passo 2
Método da Bisseção
Primeiro, a Bisseção. Esse método precisa de um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja,
e
têm sinais opostos. Vamos testar alguns valores:
Como
e
, temos uma mudança de sinal, então a raiz está entre 2 e 3.
Vamos dividir o intervalo pela metade e ver onde está a raiz:
-
Primeira iteração:
-
-
(positivo) - Como
, a nova faixa é [2, 2.5].
-
-
Segunda iteração:
-
-
(negativo) - Nova faixa: [2.25, 2.5].
-
-
Terceira iteração:
-
-
(negativo) - Nova faixa: [2.375, 2.5].
-
Continuamos esse processo até que a diferença entre
e
seja menor que 0.001. Após várias iterações, a raiz aproximada pelo método da Bisseção é:
Passo 3
Método da Falsa Posição
Agora, vamos para a Falsa Posição. Ele também precisa de um intervalo
com mudança de sinal.
-
Primeira iteração:
-
, -
-
(negativo) - Nova faixa: [2.25, 3].
-
-
Segunda iteração:
-
-
(positivo) - Nova faixa: [2.25, 2.5].
-
-
Terceira iteração:
-
-
(negativo) - Nova faixa: [2.375, 2.5].
-
Repetimos até alcançar a precisão desejada. A raiz aproximada pelo método da Falsa Posição é:
Passo 4
Método de Newton-Raphson
Por último, o Newton-Raphson. Esse método usa a derivada da função e uma aproximação inicial. Vamos precisar da derivada de
:
Vamos escolher uma aproximação inicial, digamos
.
-
Primeira iteração:
-
-
Segunda iteração:
-
-
Terceira iteração:
-
Continuamos esse processo até a diferença entre as aproximações ser menor que 0.001. A raiz aproximada pelo método de Newton-Raphson é:
Resposta
A raiz da equação
com precisão de 0.001 é aproximadamente
, obtida pelos métodos da Bisseção, Falsa Posição e Newton-Raphson.
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