Para cada uma das equações seguintes, calcule pelo menos uma raiz com precisão de 0.001 pelos métodos da Bisseção, Falsa Posição e Newton-Raphson e compare os resultados obtidos. ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação pra encontrar uma raiz com uma precisão de 0.001. Vamos usar três métodos diferentes: Bisseção, Falsa Posição e Newton-Raphson. Para isso, precisamos entender como cada método funciona e aplicar direitinho pra chegar no resultado.

Passo 2

Método da Bisseção
Primeiro, a Bisseção. Esse método precisa de um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Vamos testar alguns valores:
Como e , temos uma mudança de sinal, então a raiz está entre 2 e 3.
Vamos dividir o intervalo pela metade e ver onde está a raiz:
  1. Primeira iteração:
    • (positivo)
    • Como , a nova faixa é [2, 2.5].
  2. Segunda iteração:
    • (negativo)
    • Nova faixa: [2.25, 2.5].
  3. Terceira iteração:
    • (negativo)
    • Nova faixa: [2.375, 2.5].
Continuamos esse processo até que a diferença entre e seja menor que 0.001. Após várias iterações, a raiz aproximada pelo método da Bisseção é:

Passo 3

Método da Falsa Posição
Agora, vamos para a Falsa Posição. Ele também precisa de um intervalo com mudança de sinal.
  1. Primeira iteração:
    • ,
    • (negativo)
    • Nova faixa: [2.25, 3].
  2. Segunda iteração:
    • (positivo)
    • Nova faixa: [2.25, 2.5].
  3. Terceira iteração:
    • (negativo)
    • Nova faixa: [2.375, 2.5].
Repetimos até alcançar a precisão desejada. A raiz aproximada pelo método da Falsa Posição é:

Passo 4

Método de Newton-Raphson
Por último, o Newton-Raphson. Esse método usa a derivada da função e uma aproximação inicial. Vamos precisar da derivada de :
Vamos escolher uma aproximação inicial, digamos .
  1. Primeira iteração:
  2. Segunda iteração:
  3. Terceira iteração:
Continuamos esse processo até a diferença entre as aproximações ser menor que 0.001. A raiz aproximada pelo método de Newton-Raphson é:

Resposta

A raiz da equação com precisão de 0.001 é aproximadamente , obtida pelos métodos da Bisseção, Falsa Posição e Newton-Raphson.

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