A função
é utilizada no estudo de oscilações forçadas sem amortecimento. Encontre o valor de
onde a função assume o valor
. Use os métodos da bisseção e falsa posição. Existem diferenças entres os dois resultados? Explique.
Passo 1
Vamos resolver o exercício onde a função dada é
. Precisamos encontrar o valor de
no intervalo
que faz com que
. Para isso, vamos utilizar dois métodos numéricos: Método da Bisseção e Método da Falsa Posição. Esses métodos são úteis para encontrar raízes de equações quando não conseguimos resolver analiticamente.
Passo 2
Método da Bisseção
O método da bisseção é uma técnica simples para encontrar raízes de funções contínuas. Ele funciona dividindo repetidamente um intervalo em duas partes e selecionando a subparte onde ocorre a mudança de sinal, garantindo que a raiz esteja dentro desse subintervalo.
Passos:
- Escolha do intervalo inicial: Já sabemos que queremos
. - Verificação dos sinais: Calculamos
e . - Objetivo: Encontrar
tal que , ou seja, .
Iterações:
Vamos iterar até aproximarmos o valor de que satisfaz
.
Vamos iterar até aproximarmos o valor de
Passo 3
Método da Falsa Posição
O método da falsa posição, também conhecido como método da secante, é semelhante ao da bisseção, mas em vez de simplesmente dividir o intervalo ao meio, ele utiliza uma linha secante para estimar a raiz com mais precisão.
Passos:
- Escolha do intervalo inicial: Mesmo intervalo
. - Cálculo das estimativas: Usamos os valores de
nos extremos para calcular uma nova estimativa da raiz. - Atualização do intervalo: Substituímos um dos extremos pelo novo valor com base na mudança de sinal.
Iterações:
Vamos iterar esse processo até obtermos uma aproximação satisfatória para que resolve
.
Vamos iterar esse processo até obtermos uma aproximação satisfatória para
Passo 4
Comparação dos Resultados
Após aplicar ambos os métodos, geralmente encontramos que o método da falsa posição converge mais rapidamente para a raiz desejada comparado ao método da bisseção. Isso ocorre porque a falsa posição utiliza informações sobre a inclinação da função para estimar a raiz, tornando-a mais eficiente.
Resposta
Utilizando os métodos da bisseção e da falsa posição, encontramos que o valor de
no intervalo
que satisfaz
é aproximadamente
. Observe que o método da falsa posição pode ter convergido um pouco mais rapidamente, mas ambos os métodos fornecem resultados semelhantes para este caso específico.
Exercícios relacionados
Sabe-se que a função
se anula no ponto
. Utilizando o método da bisseção e como critério de parada
ou 4 iterações, calcule raiz da função considerando o intervalo
. Compare o resultado obtido com o resultado exato.
Para cada uma das equações seguintes, calcule pelo menos uma raiz com precisão de 0.001 pelos métodos da Bisseção, Falsa Posição e Newton-Raphson e compare os resultados obtidos.
,
Calcule uma raiz negativa para a equação
pelos métodos: Newton-Raphson
utilize uma precisão de ou um máximo de 6 iterações.
utilize uma precisão de
Isolar pelo menos um zero das funções utilizando uma tabela de valores para
: