Sabe-se que a função f(x)=(4 x-7)(x-2) se anula no ponto x=7 / 4. Utilizando o método da bisseção e como critério de parada epsilon <= 0,01 ou 4 iterações, calcule raiz da função considerando o intervalo [ll1.6 & 2.0]. Compare o resultado obtido com o resultado exato.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a raiz da função usando o Método da Bisseção. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas, dividindo repetidamente um intervalo em duas partes e selecionando a subparte que contém a raiz. Vamos precisar:
  • Conhecer a função e seu comportamento.
  • Entender o intervalo inicial .
  • Aplicar o critério de parada: erro máximo ou 4 iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a raiz exata da função. A raiz ocorre quando 4x - 7x - 2 = 0 implies 4x - 7 = 0 implies x = 74 = 1,75 :
Então, a raiz exata é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método da Bisseção. Começamos com o intervalo c = 1,6 + 2,02 = 1,8 .
Iteração 1:
  1. Calculamos o ponto médio:
f(1,8) = 4 times 1,8 - 71,8 - 2 = 7,2 - 7-0,2 = 0,2-0,2 = -1
  1. Avaliamos f(1,6) = 4 times 1,6 - 71,6 - 2 = 6,4 - 7-0,4 = -0,6-0,4 = 1,5 :
epsilon = b - a2 = 1,8 - 1,62 = 0,1
  1. Verificamos o sinal de e :
Como , a raiz está no intervalo . Atualizamos .
Erro estimado:
Como e ainda não atingimos 4 iterações, seguimos.

Passo 4

Iteração 2:
  1. Novo intervalo c = 1,6 + 1,82 = 1,7 .
  2. Ponto médio:
f(1,7) = 4 times 1,7 - 71,7 - 2 = 6,8 - 7-0,3 = -0,2-0,3 approx 0,6667
  1. Avaliamos f(1,7) times f(1,6) = 0,6667 times 1,5 > 0 :
epsilon = 1,8 - 1,72 = 0,05
  1. Verificamos sinais:
Então, a raiz está no intervalo . Atualizamos .
Erro estimado:
Ainda maior que , continuamos.

Passo 5

Iteração 3:
  1. Novo intervalo c = 1,7 + 1,82 = 1,75 .
  2. Ponto médio:
f(1,75) = 4 times 1,75 - 71,75 - 2 = 7 - 7-0,25 = 0-0,25 = 0
  1. Avaliamos epsilon = 1,8 - 1,72 = 0,05 :
  1. Como , encontramos a raiz exatamente em .
Erro estimado:
Como já encontramos a raiz exata, podemos encerrar.

Resposta

A raiz da função encontrada pelo Método da Bisseção é , que coincide exatamente com a raiz exata.

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