Calcular os limitantes e a quantidade de raízes reais existentes dos polinômios:
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular os limites e descobrir quantas raízes reais existem no polinômio
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções polinomiais, seus comportamentos no infinito e como determinar o número de raízes reais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre os limitantes da função. Isso significa que queremos saber como a função se comporta quando
tende para
e
. Para isso, observamos o termo de maior grau no polinômio, que é
.
Passo 3
Quando
vai para
, o termo
domina, e como o coeficiente é positivo, a função tende para
. Então:
Passo 4
Agora, quando
vai para
, novamente o termo
domina. Mas como
é negativo e o expoente é ímpar,
vai para
. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos descobrir a quantidade de raízes reais do polinômio. Uma forma de fazer isso é usando o Teorema de Bolzano e analisar as mudan��as de sinais no polinômio. Também podemos utilizar o Critério de Descartes para estimar o número de raízes positivas e negativas.
Passo 6
Olhemos para o polinômio
. Contando as variações de sinal:
- De
para : muda de positivo para negativo (1 variação). - De
para : sem mudança de sinal. - De
para : muda de negativo para positivo (2 variações).
Segundo o Critério de Descartes, o número de raízes positivas é igual ao número de variações de sinal ou menor por um múltiplo de 2. Então, podem haver 2 ou 0 raízes positivas.
Passo 7
Para as raízes negativas, substituímos
por
no polinômio:
Contando as variações de sinal:
- De
para : sem mudança. - De
para : muda de negativo para positivo (1 variação). - De
para : sem mudança.
Então, há 1 variação de sinal, indicando 1 raiz negativa.
Passo 8
Como a soma do número de raízes positivas e negativas deve ser igual ao grau do polinômio (que é 3), e já identificamos que pode haver 2 ou 0 raízes positivas e 1 raiz negativa, concluímos que há exatamente 3 raízes reais.
Resposta
O polinômio
tem limites:
Além disso, possui três raízes reais.
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. (Dica use
).
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