Calcular os limitantes e a quantidade de raízes reais existentes dos polinômios:

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular os limites e descobrir quantas raízes reais existem no polinômio . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções polinomiais, seus comportamentos no infinito e como determinar o número de raízes reais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre os limitantes da função. Isso significa que queremos saber como a função se comporta quando tende para e . Para isso, observamos o termo de maior grau no polinômio, que é .

Passo 3

Quando vai para , o termo domina, e como o coeficiente é positivo, a função tende para . Então:

Passo 4

Agora, quando vai para , novamente o termo domina. Mas como é negativo e o expoente é ímpar, vai para . Portanto:

Passo 5

Agora, vamos descobrir a quantidade de raízes reais do polinômio. Uma forma de fazer isso é usando o Teorema de Bolzano e analisar as mudan��as de sinais no polinômio. Também podemos utilizar o Critério de Descartes para estimar o número de raízes positivas e negativas.

Passo 6

Olhemos para o polinômio . Contando as variações de sinal:
  • De para : muda de positivo para negativo (1 variação).
  • De para : sem mudança de sinal.
  • De para : muda de negativo para positivo (2 variações).
Segundo o Critério de Descartes, o número de raízes positivas é igual ao número de variações de sinal ou menor por um múltiplo de 2. Então, podem haver 2 ou 0 raízes positivas.

Passo 7

Para as raízes negativas, substituímos por no polinômio:
Contando as variações de sinal:
  • De para : sem mudança.
  • De para : muda de negativo para positivo (1 variação).
  • De para : sem mudança.
Então, há 1 variação de sinal, indicando 1 raiz negativa.

Passo 8

Como a soma do número de raízes positivas e negativas deve ser igual ao grau do polinômio (que é 3), e já identificamos que pode haver 2 ou 0 raízes positivas e 1 raiz negativa, concluímos que há exatamente 3 raízes reais.

Resposta

O polinômio tem limites:
Além disso, possui três raízes reais.

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