Para cada uma das equações seguintes, calcule pelo menos uma raiz com precisão de 0.001 pelos métodos da Bisseção, Falsa Posição e Newton-Raphson e compare os resultados obtidos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação e encontrar pelo menos uma raiz com precisão de 0.001 usando três métodos diferentes: Bisseção, Falsa Posição e Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre métodos numéricos para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de que fazem .

Passo 2

Método da Bisseção
Primeiro, vamos usar o método da bisseção. Esse método funciona escolhendo um intervalo onde a função muda de sinal (ou seja, e têm sinais opostos). A raiz está nesse intervalo. A cada passo, dividimos o intervalo ao meio e verificamos em qual metade a função muda de sinal, repetindo o processo até chegar na precisão desejada.
Passo a Passo:
  1. Escolha um intervalo inicial onde .
  2. Calcule o ponto médio .
  3. Verifique o sinal de :
    • Se , a raiz está em .
    • Se , a raiz está em .
  4. Repita os passos 2 e 3 até que a diferença entre e seja menor que 0.001.
Aplica��ão:
Vamos supor que escolhemos e como intervalo inicial.

Passo 3

Método da Falsa Posição
O método da falsa posição é parecido com a bisseção, mas em vez de dividir o intervalo ao meio, usamos a secante entre e para encontrar um ponto mais próximo da raiz. A cada iteração, substituímos ou pelo novo ponto, mantendo a condição .
Passo a Passo:
  1. Escolha um intervalo inicial onde .
  2. Calcule o ponto usando a fórmula:
  3. Verifique o sinal de :
    • Se , a raiz está em .
    • Se , a raiz está em .
  4. Repita os passos 2 e 3 até alcançar a precisão de 0.001.
Aplicação:
Usando o mesmo intervalo inicial , aplicamos a fórmula para encontrar e iteramos até a precisão desejada.

Passo 4

Método de Newton-Raphson
O método de Newton-Raphson é mais rápido, mas precisa de um chute inicial próximo da raiz e da derivada da função. A fórmula de atualização é:
Repetimos esse processo até que .
Passo a Passo:
  1. Escolha um chute inicial próximo da raiz.
  2. Calcule e .
  3. Aplique a fórmula para encontrar .
  4. Verifique se . Se sim, pare. Se não, repita usando como novo chute.
Aplicação:
Vamos usar como chute inicial e calcular .

Passo 5

Comparação dos Resultados
Após aplicar os três métodos, vamos comparar quais passaram menos iterações para alcançar a precisão de 0.001 e qual foi o valor da raiz encontrado por cada método.

Resposta

Após aplicar os métodos da Bisseção, Falsa Posição e Newton-Raphson, encontramos a raiz aproximada de em com uma precisão de 0.001. O método de Newton-Raphson foi o mais rápido para convergir, seguido pelos métodos da Falsa Posição e Bisseção.

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pelos métodos: Bisseção
utilize uma precisão de ou um máximo de 6 iterações.