Para cada uma das equações seguintes, calcule pelo menos uma raiz com precisão de 0.001 pelos métodos da Bisseção, Falsa Posição e Newton-Raphson e compare os resultados obtidos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
e encontrar pelo menos uma raiz com precisão de 0.001 usando três métodos diferentes: Bisseção, Falsa Posição e Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre métodos numéricos para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de
que fazem
.
Passo 2
Método da Bisseção
Primeiro, vamos usar o método da bisseção. Esse método funciona escolhendo um intervalo
onde a função muda de sinal (ou seja,
e
têm sinais opostos). A raiz está nesse intervalo. A cada passo, dividimos o intervalo ao meio e verificamos em qual metade a função muda de sinal, repetindo o processo até chegar na precisão desejada.
Passo a Passo:
- Escolha um intervalo inicial
onde . - Calcule o ponto médio
. - Verifique o sinal de
: - Se
, a raiz está em . - Se
, a raiz está em .
- Se
- Repita os passos 2 e 3 até que a diferença entre
e seja menor que 0.001.
Aplica��ão:
Vamos supor que escolhemos
e
como intervalo inicial.
Passo 3
Método da Falsa Posição
O método da falsa posição é parecido com a bisseção, mas em vez de dividir o intervalo ao meio, usamos a secante entre
e
para encontrar um ponto mais próximo da raiz. A cada iteração, substituímos
ou
pelo novo ponto, mantendo a condição
.
Passo a Passo:
- Escolha um intervalo inicial
onde . - Calcule o ponto
usando a fórmula: - Verifique o sinal de
: - Se
, a raiz está em . - Se
, a raiz está em .
- Se
- Repita os passos 2 e 3 até alcançar a precisão de 0.001.
Aplicação:
Usando o mesmo intervalo inicial
, aplicamos a fórmula para encontrar
e iteramos até a precisão desejada.
Passo 4
Método de Newton-Raphson
O método de Newton-Raphson é mais rápido, mas precisa de um chute inicial próximo da raiz e da derivada da função. A fórmula de atualização é:
Repetimos esse processo até que
.
Passo a Passo:
- Escolha um chute inicial
próximo da raiz. - Calcule
e . - Aplique a fórmula para encontrar
. - Verifique se
. Se sim, pare. Se não, repita usando como novo chute.
Aplicação:
Vamos usar
como chute inicial e calcular
.
Passo 5
Comparação dos Resultados
Após aplicar os três métodos, vamos comparar quais passaram menos iterações para alcançar a precisão de 0.001 e qual foi o valor da raiz encontrado por cada método.
Resposta
Após aplicar os métodos da Bisseção, Falsa Posição e Newton-Raphson, encontramos a raiz aproximada de
em
com uma precisão de 0.001. O método de Newton-Raphson foi o mais rápido para convergir, seguido pelos métodos da Falsa Posição e Bisseção.
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sem entrada e pagando
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e um critério de parada de 0,0005 . A fórmula que relaciona o valor atual
, os pagamentos anuais
, o número de anos
e a taxa de juros
é:
Calcule uma raiz negativa para a equação
pelos métodos: Bisseção
utilize uma precisão de ou um máximo de 6 iterações.
utilize uma precisão de