Calcule uma raiz negativa para a equação
pelos métodos: Bisseção
utilize uma precisão de
ou um máximo de 6 iterações.
utilize uma precisão de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma raiz negativa da função
usando o método da Bisseção. Esse método faz parte do conteúdo de Análise Numérica, especificamente para encontrar raízes de equações. Para resolver, vamos precisar identificar um intervalo onde a função muda de sinal (ou seja, onde
e
têm sinais opostos) e então aplicar o método da Bisseção até chegarmos a uma precisão de
ou até completar 6 iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método da Bisseção. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir um intervalo em duas partes e escolher a subparte que contém a raiz, repetindo o processo até atingir a precisão desejada.
Para começar, precisamos encontrar um intervalo
onde
, ou seja, onde a função muda de sinal, garantindo que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Vamos testar alguns valores para encontrar esse intervalo. Vamos calcular
para alguns valores negativos de
:
- Para
: - Para
:
Vemos que
(positivo) e
(negativo). Como os sinais são opostos, sabemos que há pelo menos uma raiz entre
e
. Então, nosso intervalo inicial é
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método da Bisseção. A cada iteração, calculamos o ponto médio do intervalo e verificamos o sinal da função nesse ponto. Dependendo do sinal, escolhemos a subparte do intervalo que contém a raiz.
Iteração 1:
- Intervalo:
- Ponto médio:
- Calculando
: - Sinal de
: negativo
Como
e
, a raiz está no intervalo
.
Passo 5
Iteração 2:
- Intervalo:
- Ponto médio:
- Calculando
: - Sinal de
: positivo
Agora, como
e
, a raiz está no intervalo
.
Passo 6
Iteração 3:
- Intervalo:
- Ponto médio:
- Calculando
: - Sinal de
: positivo
Como
e
, a raiz está no intervalo
.
Passo 7
Iteração 4:
- Intervalo:
- Ponto médio:
- Calculando
: - Sinal de
: positivo
Como
e
, a raiz está no intervalo
.
Passo 8
Iteração 5:
- Intervalo:
- Ponto médio:
- Calculando
: - Sinal de
: positivo
Como
e
, a raiz está no intervalo
.
Passo 9
Iteração 6:
- Intervalo:
- Ponto médio:
- Calculando
: - Sinal de
: positivo
Como já fizemos 6 iterações e ainda não alcançamos a precisão de
, encerramos aqui.
Resposta
Após 6 iterações, uma aproximação para a raiz negativa da equação
é
.
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sem entrada e pagando
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, os pagamentos anuais
, o número de anos
e a taxa de juros
é:
Para cada uma das equações seguintes, calcule pelo menos uma raiz com precisão de 0.001 pelos métodos da Bisseção, Falsa Posição e Newton-Raphson e compare os resultados obtidos.
Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão
:
Seja
e
. Se
, encontre
com
, usando:
o MPF , verifique as condições de convergência.
o MPF