Calcule uma raiz negativa para a equação
f(x)=x^4-3 x^3-6 x^2-2
pelos métodos: Bisseção
utilize uma precisão de 10^-3 ou um máximo de 6 iterações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma raiz negativa da função usando o método da Bisseção. Esse método faz parte do conteúdo de Análise Numérica, especificamente para encontrar raízes de equações. Para resolver, vamos precisar identificar um intervalo onde a função muda de sinal (ou seja, onde e têm sinais opostos) e então aplicar o método da Bisseção até chegarmos a uma precisão de ou até completar 6 iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método da Bisseção. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir um intervalo em duas partes e escolher a subparte que contém a raiz, repetindo o processo até atingir a precisão desejada.
Para começar, precisamos encontrar um intervalo onde , ou seja, onde a função muda de sinal, garantindo que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos testar alguns valores para encontrar esse intervalo. Vamos calcular f(-2) = (-2)^4 - 3(-2)^3 - 6(-2)^2 - 2 = 16 - (-24) - 24 - 2 = 16 + 24 - 24 - 2 = 14 para alguns valores negativos de f(-1) = (-1)^4 - 3(-1)^3 - 6(-1)^2 - 2 = 1 - (-3) - 6 - 2 = 1 + 3 - 6 - 2 = -4 :
  • Para :
  • Para :
Vemos que (positivo) e (negativo). Como os sinais são opostos, sabemos que há pelo menos uma raiz entre e . Então, nosso intervalo inicial é .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da Bisseção. A cada iteração, calculamos o ponto médio do intervalo e verificamos o sinal da função nesse ponto. Dependendo do sinal, escolhemos a subparte do intervalo que contém a raiz.
Iteração 1:
  • Intervalo: f(-1.5) = (-1.5)^4 - 3(-1.5)^3 - 6(-1.5)^2 - 2 = 5.0625 - (-10.125) - 13.5 - 2 = 5.0625 + 10.125 - 13.5 - 2 = -0.3125
  • Ponto médio:
  • Calculando :
  • Sinal de : negativo
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 5

Iteração 2:
  • Intervalo: f(-1.75) = (-1.75)^4 - 3(-1.75)^3 - 6(-1.75)^2 - 2 approx 9.3789 - (-15.7969) - 18.375 - 2 approx 9.3789 + 15.7969 - 18.375 - 2 = 4.8
  • Ponto médio:
  • Calculando :
  • Sinal de : positivo
Agora, como e , a raiz está no intervalo .

Passo 6

Iteração 3:
  • Intervalo: f(-1.625) = (-1.625)^4 - 3(-1.625)^3 - 6(-1.625)^2 - 2 approx 6.9775 - (-12.7979) - 15.8438 - 2 approx 6.9775 + 12.7979 - 15.8438 - 2 = 1.9316
  • Ponto médio:
  • Calculando :
  • Sinal de : positivo
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 7

Iteração 4:
  • Intervalo: f(-1.5625) = (-1.5625)^4 - 3(-1.5625)^3 - 6(-1.5625)^2 - 2 approx 5.9602 - (-11.7188) - 14.6484 - 2 approx 5.9602 + 11.7188 - 14.6484 - 2 = 0.0306
  • Ponto médio:
  • Calculando :
  • Sinal de : positivo
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 8

Iteração 5:
  • Intervalo: f(-1.53125) = (-1.53125)^4 - 3(-1.53125)^3 - 6(-1.53125)^2 - 2 approx 5.5037 - (-11.3301) - 14.0645 - 2 approx 5.5037 + 11.3301 - 14.0645 - 2 = 0.7693
  • Ponto médio:
  • Calculando :
  • Sinal de : positivo
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 9

Iteração 6:
  • Intervalo: f(-1.515625) = (-1.515625)^4 - 3(-1.515625)^3 - 6(-1.515625)^2 - 2 approx 5.3334 - (-10.9878) - 13.8047 - 2 approx 5.3334 + 10.9878 - 13.8047 - 2 = 0.5165
  • Ponto médio:
  • Calculando :
  • Sinal de : positivo
Como já fizemos 6 iterações e ainda não alcançamos a precisão de , encerramos aqui.

Resposta

Após 6 iterações, uma aproximação para a raiz negativa da equação é .

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