Calcular os limitantes e a quantidade de raízes reais existentes dos polinômios:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular os limitantes e a quantidade de raízes reais do polinômio . Isso envolve entender um pouco sobre polinômios e como determinar onde suas raízes podem estar e quantas delas existem no conjunto dos números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que são limitantes de um polinômio. Basicamente, são valores que nos dão uma ideia de onde as raízes (soluções) do polinômio podem estar localizadas no eixo dos números reais. Para encontrar esses limitantes, usamos alguns critérios que nos ajudam a determinar um intervalo onde todas as raízes reais devem estar.
Passo 3
Uma maneira comum de encontrar os limitantes é utilizar o teorema de Cauchy. Esse teorema nos dá um limite superior para as raízes positivas e um limite inferior para as raízes negativas. Vamos aplicar esse teorema ao nosso polinômio.
Passo 4
Primeiro, identificamos os coeficientes do polinômio :
Para encontrar o limite superior das raízes positivas, usamos a fórmula:
Calculando:
Então, todas as raízes positivas estão no intervalo .
Passo 5
Agora, para as raízes negativas, fazemos uma substituição e aplicamos o mesmo teorema. Substituindo, obtemos:
Aplicando o teorema de Cauchy:
Portanto, todas as raízes negativas estão no intervalo .
Passo 6
Agora que temos os limitantes, vamos determinar a quantidade de raízes reais. Sabemos que um polinômio de terceiro grau () tem sempre pelo menos uma raiz real. Para descobrir se há uma ou três raízes reais, podemos analisar o comportamento do polinômio.
Calculando a derivada para encontrar os pontos de máximo e mínimo:
Resolvendo :
Isso nos dá dois pontos críticos, indicando que o gráfico do polinômio cruza o eixo três vezes, o que significa que há três raízes reais.
Resposta
O polinômio tem todas as suas raízes reais localizadas no intervalo e possui três raízes reais.