Para cada função abaixo:
(II) Encontre a imagem da função.
(E)
(II) Encontre a imagem da função.
(E)
Passo 1
Beleza! A gente tem uma função dada por
e a tarefa é descobrir a imagem dessa função. Aqui, estamos trabalhando com funções matemáticas, especificamente as que envolvem logaritmos e expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a imagem de uma função e como aplicar isso à função que nos foi dada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é a imagem de uma função. Basicamente, a imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir quando a gente varia as entradas - nesse caso,
e
. Ou seja, queremos saber todos os valores que
pode gerar.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. O que precisamos considerar aqui é o que está dentro do logaritmo. A expressão
representa a soma dos quadrados de
e
. Como os quadrados de números reais sempre são maiores ou iguais a zero, temos que
.
Passo 4
Mas atenção! O logaritmo natural (
) só está definido para números positivos. Então, para que
seja válido, precisamos que
. Isso significa que a expressão dentro do logaritmo nunca pode ser zero, ou seja,
não pode ser o ponto
.
Passo 5
Agora, vamos pensar no que acontece com
:
- Quando
se aproxima de : se aproxima de 0, e vai para . - Quando
cresce sem limites: também cresce sem limites, indo para .
Isso mostra que a função pode assumir qualquer valor real, desde que
.
Resposta
A imagem da função
é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Considere a função
(A) Faça um esboço das curvas de nível nos níveis
e
.
(A) Faça um esboço das curvas de nível
Encontre uma equação para curva de nível
que passa pelo ponto
.
Encontre uma equação para a superfície de nível da função
que passa pelo ponto
.