Para cada função abaixo:
(II) Encontre a imagem da função.
(E)

Passo 1

Beleza! A gente tem uma função dada por e a tarefa é descobrir a imagem dessa função. Aqui, estamos trabalhando com funções matemáticas, especificamente as que envolvem logaritmos e expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a imagem de uma função e como aplicar isso à função que nos foi dada.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é a imagem de uma função. Basicamente, a imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir quando a gente varia as entradas - nesse caso, e . Ou seja, queremos saber todos os valores que pode gerar.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . O que precisamos considerar aqui é o que está dentro do logaritmo. A expressão representa a soma dos quadrados de e . Como os quadrados de números reais sempre são maiores ou iguais a zero, temos que .

Passo 4

Mas atenção! O logaritmo natural ( ) só está definido para números positivos. Então, para que seja válido, precisamos que . Isso significa que a expressão dentro do logaritmo nunca pode ser zero, ou seja, não pode ser o ponto .

Passo 5

Agora, vamos pensar no que acontece com :
  • Quando se aproxima de : se aproxima de 0, e vai para .
  • Quando cresce sem limites: também cresce sem limites, indo para .
Isso mostra que a função pode assumir qualquer valor real, desde que .

Resposta

A imagem da função é todo o conjunto dos números reais, ou seja, .

Exercícios relacionados

Considere a função
(A) Faça um esboço das curvas de nível nos níveis e .
Encontre uma equação para curva de nível que passa pelo ponto .
Encontre uma equação para a superfície de nível da função que passa pelo ponto .