Considere a função f(x, y)=raizx+y^2-3
(A) Faça um esboço das curvas de nível f nos níveis c=0, c=1 e c=3.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é a função . O que a questão está pedindo é para a gente desenhar as curvas de nível dessa função para os valores , e . Curvas de nível são basicamente conjuntos de pontos onde a função mantém um valor constante . Para resolver isso, vamos igualar a função a cada valor de e ver como fica a equação resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Imagine que você tem uma superfície tridimensional representando a função . As curvas de nível são como fatias dessa superfície onde o valor de é constante. Isso ajuda a visualizar como a função se comporta no plano .

Passo 3

Vamos começar resolvendo para raizx + y^2 - 3 = 0 . Igualando a função a zero:
x + y^2 - 3 = 0
Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:
x = 3 - y^2
Reorganizando a equação:
Essa é a equação da curva de nível para . É uma parábola voltada para a esquerda.

Passo 4

Agora, vamos para raizx + y^2 - 3 = 1 . Igualando a função a um:
x + y^2 - 3 = 1
Elevando ambos os lados ao quadrado:
x = 4 - y^2
Reorganizando:
Essa é a curva de nível para . Novamente, uma parábola voltada para a esquerda, mas deslocada para a direita em relação à anterior.

Passo 5

Por último, para raizx + y^2 - 3 = 3 :
x + y^2 - 3 = 9
Elevando ao quadrado:
x = 12 - y^2
Reorganizando:
Essa é a curva de nível para . É uma parábola mais afastada do eixo y comparada às anteriores.

Resposta

As curvas de nível da função são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Essas são parábolas abertas para a esquerda, cada uma deslocada mais para a direita conforme o valor de aumenta.

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