Encontre uma equação para curva de nível que passa pelo ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma equação de curva de nível para a função que passa pelo ponto . Isso envolve entender o que são curvas de nível e como aplicá-las nessa função específica.

Passo 2

Primeiro, curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor , a curva de nível é dada por .

Passo 3

No nosso caso, a função é . Como ela depende apenas de , as curvas de nível serão determinadas apenas pelo valor de , independente de .

Passo 4

Queremos que a curva passe pelo ponto . Vamos substituir esses valores na função para encontrar o valor constante :
Então, .

Passo 5

Agora sabemos que a curva de nível que passa por é obtida quando . Vamos igualar a função a zero:

Passo 6

Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 7

Como a curva precisa passar pelo ponto , consideramos apenas .

Resposta

A equação da curva de nível que passa pelo ponto é .

Exercícios relacionados

Para cada função abaixo:
(II) Encontre a imagem da função.
(E)
Encontre uma equação para a superfície de nível da função que passa pelo ponto .
Seja .
Dê o domínio de .