Encontre uma equação para a superfície de nível da função f(x, y)= ln (x^2+y^2+z^2) que passa pelo ponto (-1,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde precisa encontrar a equação de uma superfície de nível para a função que passa pelo ponto . Isso envolve conceitos de funções de várias variáveis e superfícies de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Basicamente, para uma função de várias variáveis como f(x, y, z) = c , uma superfície de nível é o conjunto de pontos que fazem a função assumir um valor constante . Ou seja, é a solução da equação:
No nosso caso, queremos encontrar essa equação que passa pelo ponto .

Passo 3

Para achar o valor de f(-1, 2, 1) = ln((-1)^2 + (2)^2 + (1)^2) , vamos simplesmente substituir os valores de (-1)^2 = 1 , (2)^2 = 4 e (1)^2 = 1 do ponto dado na função f(-1, 2, 1) = ln(1 + 4 + 1) = ln(6) :
Vamos calcular isso passo a passo:
Então:
Portanto, .

Passo 4

Agora que temos o valor de ln(x^2 + y^2 + z^2) = ln(6) , podemos escrever a equação da superfície de nível:
x^2 + y^2 + z^2 = 6
Para simplificar, vamos eliminar o logaritmo natural aplicando a propriedade que implica . Assim, temos:
Essa é a equação de uma esfera com raio centrada na origem.

Resposta

A equação da superfície de nível é .

Exercícios relacionados