Encontre uma equação para a superfície de nível da função
que passa pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde precisa encontrar a equação de uma superfície de nível para a função
que passa pelo ponto
. Isso envolve conceitos de funções de várias variáveis e superfícies de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Basicamente, para uma função de várias variáveis como
, uma superfície de nível é o conjunto de pontos
que fazem a função assumir um valor constante
. Ou seja, é a solução da equação:
No nosso caso, queremos encontrar essa equação que passa pelo ponto
.
Passo 3
Para achar o valor de
, vamos simplesmente substituir os valores de
,
e
do ponto dado na função
:
Vamos calcular isso passo a passo:
Então:
Portanto,
.
Passo 4
Agora que temos o valor de
, podemos escrever a equação da superfície de nível:
Para simplificar, vamos eliminar o logaritmo natural aplicando a propriedade que
implica
. Assim, temos:
Essa é a equação de uma esfera com raio
centrada na origem.
Resposta
A equação da superfície de nível é
.