Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. © .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função , definida por . Nosso objetivo é determinar três coisas:
  1. Domínio: onde a função está definida.
  2. Contradomínio: o conjunto de valores que a função poderia assumir, conforme definido na função.
  3. Conjunto Imagem: os valores que a função realmente assume quando aplicamos todos os valores do domínio.
Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que é cada um desses conceitos e como aplicá-los na função dada.

Passo 2

Domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No enunciado, já nos foi dado que o domínio é . Mas vamos entender por quê.
A função está definida para todos os que não fazem o denominador ser zero. Como nosso denominador é , não pode ser zero. Além disso, o intervalo significa que é maior que 0 e menor ou igual a 1, exatamente onde está bem definida.

Passo 3

Contradomínio é o conjunto de todos os valores possíveis que a função pode assumir, conforme foi definido na própria função. Aqui, o contradomínio é . Isso significa que, teoricamente, a função pode produzir qualquer valor a partir de 1 até o infinito.

Passo 4

Conjunto Imagem é o conjunto real dos valores que a função assume quando aplicamos todos os valores do domínio.
Vamos calcular para todo em :
  • Quando se aproxima de 0, cresce sem limite, indo para .
  • Quando , .
Portanto, os valores de começam em 1 e aumentam até o infinito conforme diminui de 1 para 0.

Resposta

  • Domínio:
  • Contradomínio:
  • Conjunto Imagem:

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Seja , para todo . Determine para que valores de as seguintes fórmulas são verdadeiras:
Sejam e para todo . Determine: .
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (n) .
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .