Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. ©
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
, definida por
. Nosso objetivo é determinar três coisas:
- Domínio: onde a função está definida.
- Contradomínio: o conjunto de valores que a função poderia assumir, conforme definido na função.
- Conjunto Imagem: os valores que a função realmente assume quando aplicamos todos os valores do domínio.
Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que é cada um desses conceitos e como aplicá-los na função dada.
Passo 2
Domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No enunciado, já nos foi dado que o domínio é
. Mas vamos entender por quê.
A função
está definida para todos os
que não fazem o denominador ser zero. Como nosso denominador é
,
não pode ser zero. Além disso, o intervalo
significa que
é maior que 0 e menor ou igual a 1, exatamente onde
está bem definida.
Passo 3
Contradomínio é o conjunto de todos os valores possíveis que a função pode assumir, conforme foi definido na própria função. Aqui, o contradomínio é
. Isso significa que, teoricamente, a função pode produzir qualquer valor a partir de 1 até o infinito.
Passo 4
Conjunto Imagem é o conjunto real dos valores que a função assume quando aplicamos todos os valores do domínio.
Vamos calcular
para todo
em
:
- Quando
se aproxima de 0, cresce sem limite, indo para . - Quando
, .
Portanto, os valores de
começam em 1 e aumentam até o infinito conforme
diminui de 1 para 0.
Resposta
- Domínio:
- Contradomínio:
- Conjunto Imagem:
Exercícios relacionados
Seja
, para todo
. Determine para que valores de
as seguintes fórmulas são verdadeiras:
Sejam
e
para todo
. Determine:
.
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (n)
.
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.