Seja , para todo . Determine para que valores de as seguintes fórmulas são verdadeiras:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função e pede para descobrir para quais valores de a igualdade é verdadeira. Aqui, estamos trabalhando com funções quadráticas e precisamos entender como elas se comportam quando combinamos seus valores. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades das equações quadráticas e fazer umas contas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função na igualdade que nos foi dada. Isso significa que:
Então, nossa equação fica:

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado direito da equação. A expressão é uma fórmula de expansão conhecida que resulta em:
Substituindo isso na nossa equação, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a equação. Primeiro, subtraímos de ambos os lados para isolar os termos com :

Passo 5

Agora, temos que . Para que essa igualdade seja verdadeira, o produto precisa ser igual a zero, ou seja:
Isso acontece quando pelo menos um dos fatores for zero. Então, ou ou .

Passo 6

Então, para que seja verdadeira, devemos ter:
  • e pode ser qualquer número real.
  • e pode ser qualquer número real.
Não há restrições para na equação original, então pode ser qualquer valor real.

Resposta

A igualdade é verdadeira para todo onde pelo menos um dos valores ou é igual a zero. Ou seja:
  • e qualquer número real,
  • Ou e qualquer número real.
O valor de não afeta a condição e pode ser qualquer número real.

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Sejam e para todo . Determine: .
Seja , para todo . Determine: .
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. © .
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (n) .