Seja f(x)=x^2, para todo x in R. Determine para que valores de x, y, z as seguintes fórmulas são verdadeiras: f(x)+f(y)=f(x+y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função e pede para descobrir para quais valores de a igualdade é verdadeira. Aqui, estamos trabalhando com funções quadráticas e precisamos entender como elas se comportam quando combinamos seus valores. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades das equações quadráticas e fazer umas contas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função f(x) + f(y) = x^2 + y^2 na igualdade que nos foi dada. Isso significa que:
f(x+y) = (x + y)^2
x^2 + y^2 = (x + y)^2
Então, nossa equação fica:

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado direito da equação. A expressão (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 é uma fórmula de expansão conhecida que resulta em:
x^2 + y^2 = x^2 + 2xy + y^2
Substituindo isso na nossa equação, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a equação. Primeiro, subtraímos x^2 + y^2 - x^2 - y^2 = 2xy de ambos os lados para isolar os termos com 0 = 2xy :

Passo 5

Agora, temos que xy = 0 . Para que essa igualdade seja verdadeira, o produto precisa ser igual a zero, ou seja:
Isso acontece quando pelo menos um dos fatores for zero. Então, ou ou .

Passo 6

Então, para que seja verdadeira, devemos ter:
  • e pode ser qualquer número real.
  • e pode ser qualquer número real.
Não há restrições para na equação original, então pode ser qualquer valor real.

Resposta

A igualdade é verdadeira para todo onde pelo menos um dos valores ou é igual a zero. Ou seja:
  • e qualquer número real,
  • Ou e qualquer número real.
O valor de não afeta a condição e pode ser qualquer número real.

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