Seja
, para todo
. Determine para que valores de
as seguintes fórmulas são verdadeiras:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função
e pede para descobrir para quais valores de
a igualdade
é verdadeira. Aqui, estamos trabalhando com funções quadráticas e precisamos entender como elas se comportam quando combinamos seus valores. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades das equações quadráticas e fazer umas contas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a função
na igualdade que nos foi dada. Isso significa que:
Então, nossa equação fica:
Passo 3
Agora, vamos expandir o lado direito da equação. A expressão
é uma fórmula de expansão conhecida que resulta em:
Substituindo isso na nossa equação, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a equação. Primeiro, subtraímos
de ambos os lados para isolar os termos com
:
Passo 5
Agora, temos que
. Para que essa igualdade seja verdadeira, o produto
precisa ser igual a zero, ou seja:
Isso acontece quando pelo menos um dos fatores for zero. Então, ou
ou
.
Passo 6
Então, para que
seja verdadeira, devemos ter:
-
e pode ser qualquer número real. -
e pode ser qualquer número real.
Não há restrições para
na equação original, então
pode ser qualquer valor real.
Resposta
A igualdade
é verdadeira para todo
onde pelo menos um dos valores
ou
é igual a zero. Ou seja:
-
e qualquer número real, - Ou
e qualquer número real.
O valor de
não afeta a condição e pode ser qualquer número real.
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Sejam
e
para todo
. Determine:
.
Seja
, para todo
. Determine:
.
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. ©
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Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (n)
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