Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) f é injetora e (ii) f é sobrejetora. f: R R-(-infty,-1), f(x)=x^2-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função , que vai de todos os números reais para os números reais maiores ou iguais a -1 , é injetora e sobrejetora. Pra isso, precisamos entender o que significa cada uma dessas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, para cada valor diferente de entrada, temos um valor diferente de saída. Em outras palavras, se implica que .

Passo 3

Vamos testar se nossa função a^2 - 1 = b^2 - 1 é injetora. Suponha que a^2 = b^2 :
Isso significa que ou . Ou seja, se tivermos dois valores e , eles dão o mesmo resultado na função. Por exemplo, e . Então, , mas .

Passo 4

Como encontramos dois valores diferentes que dão o mesmo resultado, isso mostra que a função não é injetora.

Passo 5

Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada (neste caso, , ou seja, todos os números maiores ou iguais a -1) tem pelo menos um elemento no conjunto de partida que mapeia para ele.

Passo 6

Precisamos ver se, para qualquer x^2 - 1 = y , existe um x^2 = y + 1 tal que :
Como , então , e sempre existe um real que satisfaz essa equação (pode ser positivo ou negativo).

Passo 7

Por exemplo, se x^2 = 3 + 1 = 4 :
Então ou . Assim, todo valor tem pelo menos um que mapeia para ele.

Resposta

A função não é injetora, mas é sobrejetora.

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