Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
, que vai de todos os números reais
para os números reais maiores ou iguais a -1
, é injetora e sobrejetora. Pra isso, precisamos entender o que significa cada uma dessas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, para cada valor diferente de entrada, temos um valor diferente de saída. Em outras palavras, se
implica que
.
Passo 3
Vamos testar se nossa função
é injetora. Suponha que
:
Isso significa que
ou
. Ou seja, se tivermos dois valores
e
, eles dão o mesmo resultado na função. Por exemplo,
e
. Então,
, mas
.
Passo 4
Como encontramos dois valores diferentes que dão o mesmo resultado, isso mostra que a função não é injetora.
Passo 5
Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada (neste caso,
, ou seja, todos os números maiores ou iguais a -1) tem pelo menos um elemento no conjunto de partida que mapeia para ele.
Passo 6
Precisamos ver se, para qualquer
, existe um
tal que
:
Como
, então
, e sempre existe um
real que satisfaz essa equação (pode ser positivo ou negativo).
Passo 7
Por exemplo, se
:
Então
ou
. Assim, todo valor
tem pelo menos um
que mapeia para ele.
Resposta
A função
não é injetora, mas é sobrejetora.
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